8.1 二分法与求方程近似解8.1.1 函数的零点学 习 目 标核 心 素 养1．理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系．(重点)2．会求函数的零点．(重点、难点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理的数学核心素养．解方程的历史方程解法时间图·东方方程解法时间图·西方1．函数的零点的定义一般地，我们把使函数 y＝f(x)的值为 0 的实数 x 称为函数 y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数解．(2)函数 y＝f(x)的零点就是它的图象与 x 轴交点的横坐标．3．零点存在性定理若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且 f ( a ) f ( b )<0 ，则函数 y＝f(x)在区间( a ， b ) 上有零点．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．( )(2)任意两个零点之间函数值保持同号． ( )(3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜0．( )[提示] (1)可举反例 f(x)＝x2＋1 无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如 f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即 x＝1,2,3，在(1,2)上 f(x)为正，在(2,3)上 f(x)为负，故在零点 1 和 3 之间有正有负．(3)举例 f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然 f(x)在(－2,2)上有零点 1 和－1，但是f(2)·f(－2)>0．[答案] (1)× (2)× (3)×2．(一题两空)函数 y＝x2＋3x＋2 的零点是________，其图象与 x 轴的交点为________．－1，－2 (－1,0)，(－2,0) [令 x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1 或 x＝－2．]3．若函数 f(x)在区间[2,5]上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数 f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．1 [由 f(x)在区间[2,5]上是减函数，可得 f(x)至多有一个零点．又因为 f(x)是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，所以 f(x)在(2,5)上至少有一个零点，可得 f(x)恰有一个零点．]求函数的零点【例 1】 求下列函数的零点．(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4 x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．[思路点拨] 根据函数的零点和方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．[解] (1) f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令 f(x)＝0，得 x＝0,1，－1，故 f(x...
