1.5.3 反证法和放缩法1.理解反证法和放缩法的概念.2.会用反证法和放缩法证明较简单的不等式.自学导引1.反证法：首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确.2.放缩法：将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大.基础自测1.设 M＝＋＋＋…＋，则( )A.M＝1 B.M<1C.M>1 D.M 与 1 大小关系不定解析 M 是 210项求和，M＝＋＋＋…＋<＋＋＋…＋＝1，故选 B.答案 B2.已知 a，b∈R＋，下列各式中成立的是( )A.cos2θ·lg a＋sin2θ·lg blg(a＋b)C.acos2θbsin2θ＝a＋bD.acos2θ·bsin2θ>a＋b解析 cos2θlg a＋sin2θlg b＝cos2θlg a＋(1－cos2θ)lg b＝cos2θlg＋lg b0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.证明 假设 a、b、c 不全是正数，即至少有一个小于或等于 0.又 abc>0，不妨假设 a<0，则 bc<0. b＋c>－a>0，∴－a(b＋c)>0.∴a(b＋c)<0，又 bc<0，∴bc＋a(b＋c)<0.即 ab＋bc＋ca<0.这与已知 ab＋bc＋ca>0 矛盾.∴假设不成立.故 a>0，b>0，c>0 成立.●反思感悟：用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立.1.设 a＞0，b＞0，且 a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 不可能同时成立.证明 由 a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得 ab＝1.(1)由基本不等式及 ab＝1，有 a＋b≥2＝2，即 a＋b≥2.(2)假设 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 同时成立，则由 a2＋a＜2 及 a＞0，得 0＜a＜1；同理，0＜b＜1，从而 ab＜1，这与 ab＝1 矛盾.故 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 不可能同时成立.知识点 2 放缩法证明不等式【例 2】 设 Sn＝＋＋…＋，求证：不等式＋＋…＋＝1＋2＋…＋n＝.且 Sn<＋＋…＋＝＋＋…＋<＋＋＋…＋＝∴
