第 8 章 函数应用[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]函数的零点与方程的根的关系及应用根据函数零点的定义，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x)＝0 是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．【例 1】 (1)函数 f(x)＝log3 [log2(4－2x)]的零点为________．(2)函数 g(x)＝lg x 与 f(x)＝x2－6x＋9 的图象的交点个数为_____，设最右侧交点的横坐标 x0，则存在 n0∈N*，使 x0∈(n0，n0＋1)，则 n0＝________．[思路点拨] (1)可通过解方程来求零点．(2)通过图象和零点存在性定理来解．(1)1 (2)2 3 [(1)f(x)＝0 时，log3[log2(4－2x)]＝0，则 log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1．(2)在同一个坐标系中做出 f(x)和 g(x)的图象，如图，易知交点个数有 2 个，设 h(x)＝g(x)－f(x)， h(2)＝lg 2－1<0，h(3)＝lg 3>0，h(4)＝lg 4－1<0，x0为最右侧交点，故x0∈(3,4)，∴n0＝3．]判断函数的零点个数的三种方法1 方程法：令 fx＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.2 定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 fa·fb<0，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性才能确定函数有多少个零点.3 图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.[跟进训练]1．已知关于 x 的函数 y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1 恒有零点．(1)求 m 的取值范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求 m 的值．[解] (1)当 m＋6＝0，即 m＝－6 时，函数为 y＝－14x－5，显然有零点．当 m＋6≠0 时，由 Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得 m≤－．∴当 m≤－且 m≠－6 时，二次函数有零点．综上所述，m≤－．(2)设 x1，x2是函数的两个零点，则有x1＋x2＝－，x1x2＝． ＋＝－4，即＝－4，∴－＝－4，解得 m＝－3．且当 m＝－...
