高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案VIP专享

1.1 变化率与导数第 1 课时 变化率问题、导数的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P2～P6的内容，回答下列问题．(1)气球膨胀率气球的体积 V(单位：L)与半径 r(单位：dm)之间的函数关系是 V(r)＝πr3，如果将半径 r 表示为体积 V 的函数，那么 r(V)＝.① 当空气容量 V 从 0 增加到 1 L 时，气球的平均膨胀率是多少？提示：≈0.62(dm/L)．② 当空气容量 V 从 1 L 增加到 2 L 时，气球的平均膨胀率是多少？提示：≈0.16(dm/L)．③ 当空气容量从 V1 增加到 V2时，气球的平均膨胀率又是多少？提示：．(2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.① 在 0≤t≤0.5 这段时间里，运动员的平均速度 v 是多少？提示：v＝＝4.05(m/s)．② 在 1≤t≤2 这段时间里，运动员的平均速度 v 是多少？提示：v＝＝－8.2(m/s)．③ 在 t1≤t≤t2这段时间里， 运动员的平均速度 v 又是多少？提示：v＝．2．归纳总结，核心必记(1)函数的平均变化率对于函数 y＝f(x)，给定自变量的两个值 x1和 x2，当自变量 x 从 x1变为 x2时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，我们把式子称为函数 y＝f(x)从 x1到 x2的平均变化率．习惯上用 Δx 表示 x2－x1，即 Δx＝x2－ x 1，可把 Δx 看作是相对于 x1的一个“增量”，可用 x1＋Δx 代替 x2；类似地，Δy＝f ( x 2) － f ( x 1)．于是，平均变化率可表示为．(2)瞬时速度① 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．② 若物体运动的路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当 Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0到 t0＋Δt 之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在 t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f ′( x 0) 或 y ′| x ＝ x 0，即 f′(x0)＝=．[问题思考](1)设 A(x1，f(x1))，B (x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)上任意不同的两点，则函数 y＝f(x)的平均变化率＝＝表示什么？提示：表示割线 AB 的斜率 ．(2)Δx，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示：Δx，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但 Δx 不能为 0.平均变化率可正、可负、可为零．(3)在高台跳水中，如何求在[1，1＋Δt]这段...