第 8 章 向量的数量积与三角恒等变换平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度．【例 1】 非零向量 a，b 满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求 a，b 的夹角的余弦值．[思路探究] →→[解] 由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，得解得所以|a||b|＝－a·b，所以 cos θ＝＝－.1.如果等腰三角形 ABC 的周长是底边长 BC 的 5 倍，BC＝1，则AB·BC＝( )A． B． C．－ D．－C [设 D 是 BC 的中点，等腰三角形 ABC 的周长是底边长 BC 的 5 倍，BC＝1，在 Rt△ABD 中，cos∠ABC＝，AB·BC＝|AB||BC|cos(π－∠ABC)＝2×1×＝－.故选C．]向量的坐标运算1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．【例 2】 已知向量AB＝(4,3)，AD＝(－3，－1)，点 A(－1，－2)．(1)求线段 BD 的中点 M 的坐标；(2)若点 P(2，y)满足PB＝λBD(λ∈R)，求 y 与 λ 的值．[思路探究](1)先求 B，D 点的坐标，再求 M 点坐标；(2)由向量相等转化为 y 与 λ 的方程求解．[解](1)设点 B 的坐标为(x1，y1)． AB＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，∴∴∴B(3,1)．同理可得 D(－4，－3)．设线段 BD 的中点 M 的坐标为(x2，y2)，则 x2＝＝－，y2＝＝－1，∴M.(2)由已知得PB＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，BD＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又PB＝λBD，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，则∴2.已知△ABC 中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为 AD，求AD.[解] 设 D(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)，BD＝(x－3，y－2)，BC＝(－6，－3)， AD⊥BC，∴AD·BC＝0，则有－6(x－2)－3(y＋1)＝0，① BD∥BC，则有－3(x－3)＋6(y－2)＝0，②解由①②构成的方程组得则 D 点坐标为(1,1)，所以AD...
