§2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到 30 两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了 50 两银子，叫洛孝拿出自己私留的 20 两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．设：A：洛孝主动归还所拾银两．B：洛孝无赖银之情．C：洛孝拾到 30 两银子，失主丢失 50 两银子．D：洛孝所拾银子不是失主所丢．问题 1：县官得到结论 B 的依据是什么？它是 B 的什么条件？提示：A，充分条件．问题 2：县官由 C 得出什么结论？它是 C 的什么条件？提示：D，必要条件．充分条件和必要条件如果“若 p，则 q”形式的命题为真命题，即 p⇒q，称 p 是 q 的充分条件，同时称 q 是p 的必要条件.充要条件已知：p：前年在伦敦举行第 30 届夏季奥运会．q：前年是 2012 年．问题 1：“若 p，则 q”为真命题吗？p 是 q 的什么条件？提示：是真命题，充分条件．问题 2：“若 q，则 p”是真命题吗？p 是 q 的什么条件？提示：是真命题，必要条件．问题 3：p 是 q 的什么条件？q 是 p 的什么条件？提示：充要条件，充要条件．充要条件(1)如果既有 p ⇒ q ，又有 q ⇒ p ，通常记作 p⇔q，则称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)p 是 q 的充要条件也可以说成：p 成立当且仅当 q 成立． (3)如果 p，q 分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题 p 和命题 q 是两个相互等价的命题．(4)若 p⇒q，但 q⇒/ p，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件．(5)若 p⇒/ q，且 q⇒/ p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断，即对命题“若 p，则 q”与“若 q，则 p”进行真假判断，若是一真一假则 p 是 q 的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则 p 是 q 的充要条件；若是两假则 p 是 q 的即不充分又不必要条件．充分条件、必要条件的判断[例 1] 下列各题中，p 是 q 的什么条件？(1)p：a，b，c 三数成等比数列，q：b＝；(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：△ABC 是直角三角形，q：△ABC 为等腰三角形．[思路点拨] 可先看 p 成立时，q 是否成立，再反过来若 q 成立时，p 是否成立，从而判定 p，q 间的关系．[精解...
