高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件学案（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案VIP专享

1.2 分条件与必要条件充分条件与必要条件[提出问题]在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题 1：图中 A 开关闭合时 B 灯一定亮吗？提示：一定亮．问题 2：B 灯亮时 A 开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是 C 开关闭合．[导入新知]充分条件与必要条件命题真假“若 p，则 q”是真命题“若 p，则 q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p 是 q 的充分条件q 是 p 的必要条件p 不是 q 的充分条件q 不是 p 的必要条件[化解疑难]1．p 是 q 的充分条件是指“p 成立可充分保证 q 成立，但是如果没有 p，q 也可能成立”．2．q 是 p 的必要条件是指“要使 p 成立必须要有 q 成立”，或者说“若 q 不成立，则 p 一定不成立”；但即使有 q 成立，p 未必会成立.充要条件[提出问题]如图是一物理电路图．问题 1：图中开关 A 闭合，灯泡 B 亮；反之灯泡 B 亮，开关 A 一定闭合吗？提示：一定闭合．问题 2：开关 A 闭合作为命题的条件 p，灯泡 B 亮作为命题的结论 q，你能判断 p，q 之间的推出关系吗？提示：p⇔q.[导入新知]充要条件如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，记作 p ⇔ q .则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件．[化解疑难]p 是 q 的充要条件时，q 也是 p 的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件 p 和条1件 q 是等价的，如果 p 和 q 是两个命题，则这两个命题是等价命题．充分条件、必要条件、充要条件的判断[例 1] 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件．(1)在△ABC 中，p：cos2A＝cos2B，q：A＝B；(2)p：x＞1，q：x2＞1；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：＜1.[解] (1)在△ABC 中，A∈(0，π)，B∈(0，π)，且 A＋B＋C＝π.若 cos2A＝cos2B，则 A＝B；反之，若 A＝B，则 cos2A＝cos2B.因此，p 是 q 的充要条件．(2)由 x＞1 可以推出 x2＞1；由 x2＞1，得 x＜－1，或 x＞1，不一定有 x＞1.因此，p 是 q 的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0 可以推出 a＝2，或 a＝3，不一定有 a＝3；由 a＝3 可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p 是 q 的必要不充分条件．(4)由于 a＜b，当 b＜0 时，＞1；当 b＞0 时，＜1，故若 a＜b，不一定有＜1；当 a＞0，b＞0，＜1 时，可以推出 a＜b；当 a＜0，b＜0，＜1 时，可以推出 a＞b.因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件． [类题通法]充分、必要、充要条...