高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案VIP专享

1．3.1 函数的单调性与导数 1.理解导数与函数的单调性的关系． 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法．3．能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数 y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”1.从导数的几何意义理解单调性与导数符号的关系(1)如果 f′(x)>0，即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数单调递增．(2)如果 f′(x)<0，即切线的斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，即函数单调递减．(3)如果 f′(x)＝0 恒成立，则切线的斜率为 0，切线的倾斜角为 0，图象没有上升或下降的趋势，该函数为常数函数．2．导数与函数图象的关系图象 f′(x)变化规律f′(x)>0且越来越大f′(x)>0且越来越小f′(x)<0且越来越小f′(x)<0且越来越大函数值变化规律函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢函数值减小得越来越快函数值减小得越来越慢 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0，则函数 f(x)在定义域上单调递增．( )(2)若函数 f(x)在某区间内单调递增，则一定有 f′(x)>0.( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．( )答案：(1)× (2)× (3)√ 若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且 f(a)≥0，则在(a，b)内有( )A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)＝0 D．不能确定答案：A 函数 f(x)＝2x2－x 的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：A 函数 f(x)＝cos x＋x 的单调递增区间是________．解析：因为 f′(x)＝－sin x＋>0，所以 f(x)在 R 上为增函数．答案：(－∞，＋∞)探究点 1 导数与函数图象的关系 (1)已知 f′(x)是函数 y＝f(x)的导函数，若 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )(2)函数 y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记 y＝f(x)的导函数为 y＝f′(x)，则不等式 f′(x)<0 的解集为________．【解析】 (1)由导函数的图象可知，当 x<0 时，f′(x)>0，即函数 f(x)在(－∞，0)上为增函数；当 02 时，f′(x)>0，即函数 f(x)在(2，＋∞)上为...