高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数学案（含解析）新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案VIP专享

1.3.2 函数的极值与导数自主预习·探新知情景引入 在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点．对于连续函数，有类似的性质．“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语．他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大．他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小．新知导学 1．如图是函数 y＝f(x)的图象，在 x＝a 邻近的左侧 f(x)单调递增，f′(x)__>__0，右侧 f(x)单调递减，f′(x)__<__0，在 x＝a 邻近的函数值都比 f(a)小，且 f′(a)__＝__0.在x＝b 邻近情形恰好相反，图形上与 a 类似的点还有__( c ， f ( c )) __，(e，f(e))，与 b 类似的点还有__( d ， f ( d )) __.我们把点 a 叫做函数 f(x)的极__大__值点，f(a)是函数的一个极__大__值；把点 b 叫做函数 f(x)的极__小__值点，f(b)是函数的一个极__小__值．2．一般地，已知函数 y＝f(x)及其定义域内一点 x0，对于 x0附近的所有点 x，如果都有__f ( x )< f ( x 0)__，则称函数 f(x)在点 x0处取得__极大值__，并把 x0称为函数 f(x)的一个__极大值点__；如果都有__f ( x )> f ( x 0)__，则称函数 f(x)在点 x0处取得__极小值__，并把 x0称为函数 f(x)的一个__极小值点__.极大值与极小值统称为__极值__，极大值点与极小值点统称为__极值点__.预习自测 1．下列四个函数：① y＝x3；② y＝x2＋1；③ y＝|x|；④ y＝2x.在 x＝0 处取得极小值的函数是( B )A．①② B．②③C．③④ D．①③[解析] ① y＝x3在 R 上单调递增，无极值；②y＝x2＋1 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故②正确；③y＝|x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故③正确；④y＝2x在 R 上单调递增，故④不正确．∴选 B．2．(2020·银川三模)已知函数 f(x)＝cosx＋alnx 在 x＝处取得极值，则 a＝( C )A． B．C． D．－[解析] f(x)＝cosx＋alnx，∴f ′(x)＝－sinx＋， f(x)在 x＝处取得极值，∴f ′()＝－＋＝0，解得：a＝，经检验符合题意，故选 C．3．已知 f(x)＝x3－x2＋2x＋1，x1，x2是 f(x)的两个极值点，且 0