高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.2 空间图形的公理（二）学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案VIP专享

4.2 空间图形的公理(二)学习目标 1.掌握公理 4 及等角定理(重点)；2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角(重、难点).知识点一 公理 4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公理 4 在平面内和空间中均成立.(√)(2)多条直线平行于同一条直线，则这些直线互相平行.(√)知识点二 空间等角定理1.定理文字语言空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行.(×)(2)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.(√)(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角互补.(×)知识点三 异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线 a 与 b 所成的角.2.异面直线所成的角 θ 的取值范围：0°＜θ≤90°.3.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线 a，b，记作 a⊥b.4.异面直线所成的角的求法方法一 在空间任取一点 O，过点 O 分别作 a′∥a，b′∥b，则 a′与 b′所成的锐角(或直角)为异面直线 a 与 b 所成的角，然后通过解三角形等方法求角.方法二 在其中一条直线上任取一点(如在 b 上任取一点)O，过点 O 作另一条直线的平行线(如过点 O 作 a′∥a)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如 b 与 a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图).【预习评价】(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示 (1)不一定.可能相交、平行或异面.(2)在长方体 A1B1C1D1－ABCD 中，BC1∥AD1，则“直线 BC1与直线 BC所成的角”，与“直线 AD1与直线 BC 所成的角”是否相等？提示 相等.题型一 公理 4 与等角定理的应用【例 1】 E，F 分别是长方体 ABCD－A1B1C1D1的棱 A1A，C1C 的中点，求证：四边形 B1EDF 是平行四边...