高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.2 垂直关系的性质学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案VIP专享

6.2 垂直关系的性质学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理(重点)；2.能运用性质定理解决一些简单问题(重点)；3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系(重、难点).知识点一 直线与平面垂直的性质定理文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号语言⇒a ∥ b 图形语言作用① 线面垂直⇒线线平行② 作平行线【预习评价】(1)垂直于同一平面的两条直线一定共面吗？提示 共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？提示 有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.知识点二 平面与平面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言⇒a⊥β图形语言作用① 面面垂直⇒线面垂直② 作面的垂线【预习评价】(1)如果 α⊥β，则 α 内的直线必垂直于 β 内的无数条直线，对吗？提示 正确.若设 α∩β＝l，aα，bβ，b⊥l，则 a⊥b，故 β 内与 b 平行的无数条直线均垂直于 α 内的任意直线.(2)如果 α⊥β，过 β 外的任意一点作 α 与 β 交线的垂线，则这条直线必垂直于 α，对吗？提示 错误.垂直于交线的直线必须在平面 β 内才与平面 α 垂直，否则不垂直.题型一 直线与平面垂直的性质及应用【例 1】 如图，正方体 A1B1C1D1－ABCD 中，EF 与异面直线 AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明 如图所示，连接 AB1、B1D1、B1C、BD， DD1⊥平面 ABCD，AC平面 ABCD，∴DD1⊥AC.又 AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面 BDD1B1，又 BD1平面 BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证 BD1⊥B1C，又 AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面 AB1C. EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又 EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面 AB1C，∴EF∥BD1.规律方法 证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.【训练 1】 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AB⊥...