7．3 球知识点 球的表面积与体积 [填一填]1．球的体积球的半径为 R，那么它的体积是 V＝πR3.2．球的表面积球的半径为 R，那么它的表面积是 S＝4π R 2 .[答一答]怎样分析与球有关的组合体问题？提示：通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为 r，高为 h 的圆锥内部有一球O，且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心 O 作球的截面，如图所示，则球心是等腰三角形 ABC 的内切圆的圆心，AB 和 AC 均是圆锥的母线，BC 是圆锥底面直径，D 是圆锥底面的圆心．用同样的方法可得以下结论：① 长方体的 8 个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的 12 条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．② 球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．③ 球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．1．球的体积和表面积都是关于半径 R 的函数，因此求体积和表面积时，只需求出半径即可．2．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来已知体积或表面积也可以求其半径．3．球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用，要注意球的半径与截面圆半径的关系．类型一 球的表面积 【例 1】 已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；(2)球的表面积等于圆柱表面积的.【证明】 (1)如图，设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，得 S 球＝4πR2，S 圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2.∴S 球＝S 圆柱侧 .(2) S 圆柱表＝4πR2＋2πR2＝6πR2，S 球＝4πR2，∴S 球＝S 圆柱表 .规律方法 要解决两几何体间的体积(面积)关系，必须首先算出球的体积(表面积)与圆柱的体积(侧面积)，算出球的体积(表面积)与圆柱的体积(侧面积)要知道球的半径，球的半径可设为 R.(1)球的体积是 π，则此球的表面积是( B )A．12π B．16πC.π D.π解析：πR3＝π，故 R＝2，球的表面积为 4πR2＝16π.(2)两个球的体积之比是 827，那么这两个球的表面积之比是( B )A．23 B．49C. D.解析：体积之比是 827，则半径之比是 23，表面积之比是 49.类型二 与球有关的组合体的表面积与体积 【例 2】 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视...
