高中数学 第一章 立体几何初步 4.2.2 空间图形的公理（二）学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案VIP专享

4.2 空间图形的公理(二)[学习目标] 1.掌握公理 4 及等角定理． 2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.【主干自填】1．公理 4(1)文字表述：□ 平行于同一直线 的两条直线互相平行．(2)符号表述：□ a ∥ b 且 b ∥ c ⇒ a ∥ c .(3)含义：揭示了空间平行线的□ 传递 性．2．等角定理(1)研究对象：在空间中的两个角．(2)条件：两边分别□ 对应平行． (3)结论：这两个角□ 相等或互补． 3．异面直线所成的角【即时小测】1．思考下列问题(1)两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定．只要两直线所成的角是 90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．(2)公理 4 及等角定理的作用是什么？提示：公理 4 又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( )A．相交 B．异面C．相交或异面 D．平行提示：C 如图所示的长方体 ABCD－A1B1C1D1中，直线 AA1与直线 B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有 A1D1，AD，BC，显然直线 AA1与 A1D1，AD 相交，与 BC 异面．3．空间中有两个角 α，β，且角 α，β 的两边分别平行．若 α＝60°，则 β＝________.提示：60°或 120° 因为 α 与 β 两边对应平行，但方向不确定，所以 α 与 β 相等或互补．例 1 如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点．(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形；(2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：AC⊥BD.[证明] (1)如题图，在△ABD 中， EH 是△ABD 的中位线，∴EH∥BD，EH＝BD.又 FG 是△CBD 的中位线，∴FG∥BD，FG＝BD，∴FG∥EH，∴E，F，G，H 四点共面，又 FG＝EH，∴四边形 EFGH 是平行四边形．(2)由(1)知 EH∥BD，同理 AC∥GH.又 四边形 EFGH 是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.类题通法空间中证明两直线平行的方法(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等．(2)利用公理 4 证明，即证明两直线都与第三条直线平行． 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′中，M，N 分别为 CD，AD 的中点．求证：四边形 MNA′C′是梯形．证明 连接 AC. M，N 为 CD，AD 的中点，∴MN 綊 AC.由正方体性质可知 AC 綊 A′C′，∴MN 綊 A′C′....