高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

1．2.2 同角三角函数关系[学习目标] 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．[知识链接]1．任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？答 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则有 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.2．在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？答 MP＝sin α，OM＝cos α，AT＝tan α.3．如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？答 设点 P(x，y)为 α 终边上任意一点，P 与 O 不重合．P 到原点的距离为 r＝>0，则 sin α＝，cos α＝，tan α＝.于是 sin2 α＋cos2 α＝2＋2＝＝1，＝＝＝tan α.即 sin2 α＋cos2 α＝1，tan α＝.[预习导引]1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .(2)商数关系：tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z)．2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1 的变形公式：sin2α＝1 － cos 2 α ；cos2α＝1 － sin 2 α ；(2)tan α＝的变形公式：sin α＝cos_α tan _α；cos α＝.要点一 利用同角基本关系式求值例 1 已知 cos α＝－，求 sin α，tan α 的值．解 cos α＝－<0，∴α 是第二或第三象限的角，如果 α 是第二象限角，那么sin α＝＝ ＝，tan α＝＝＝－.如果 α 是第三象限角，同理可得sin α＝－＝－，tan α＝.规律方法 已知角 α 的某一种三角函数值，求角 α 的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2 α＋cos2α”．本题没有指出 α 是第几象限的角，则必须由 cos α 的值推断出 α 所在的象限，再分类求解．跟踪演练 1 已知 tan α＝，且 α 是第三象限角，求 sin α，cos α 的值．解 由 tan α＝＝，得 sin α＝cos α，①又 sin2 α＋cos2α＝1，②由①②得 cos2α＋cos2α＝1，即 cos2α＝.又 α 是第三象限角，∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.要点二 三角函数代数式的化简例 2 化简下列各式：(1) ；(2) ＋ ，其中 sin α·tan α<0.解 (1)＝＝＝＝－1.(2)由于 sin α·tan α<0，则 s...