高中数学 第一章 立体几何初步 6.2 垂直关系的性质学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案VIP专享

6.2 垂直关系的性质[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理． 2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题． 3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.【主干自填】1．直线与平面垂直的性质定理2．平面与平面垂直的性质定理3．平面与平面垂直的其他性质(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点□ 垂直于第二个平面 的直线在第一个平面内．(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面□ 垂直于另一个平面． (3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线□ 平行于另一个平面或在另一个平面 内．【即时小测】1．思考下列问题(1)一般地，如果直线 a⊥α，直线 b⊥α，这时，a 和 b 平行吗？你能给出证明吗？提示：a 和 b 平行．证明如下：如图，假定 a 和 b 不平行．设 a⊥α，b⊥α，垂足分别为 A，B.过点 B 作 a 的平行线 b′，由异面直线垂直的定义 ，b′与平面 α 内过点 A 的任意直线都垂直，也即有 b′⊥α，b∩b′＝B，故直线 b 与 b′确定一个平面，记为 β，且记 α∩β＝l，在平面 β 内，过点 B 有且仅有一条直线垂直于 l，故 b′与 b 重合，a 与 b 平行．(2)一般地，平面 α⊥β，α∩β＝MN，ABβ，AB⊥MN 于点 B，这时，直线 AB 和平面 α 垂直吗？你能给出证明吗？提示：直线 AB 和平面 α 垂直．证明如下：如图，在平面 α 内作直线 BC⊥MN，则∠ABC 是二面角 α－MN－β 的平面角，因为平面 α⊥平面 β，所以∠ABC＝90°，即 AB⊥BC，又已知 AB⊥MN，从而 AB⊥α.2．△ABC 所在的平面为 α，直线 l⊥AB，l⊥AC，直线 m⊥BC，m⊥AC，则直线 l，m 的位置关系是( )A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定提示：C 因为 l⊥AB，l⊥AC，ABα，ACα，且 AB∩AC＝A，所以 l⊥α，同理可证m⊥α，所以 l∥m.3．若 m、n 表示直线，α 表示平面，则下列判断中，正确判断的个数为( )①⇒n⊥α； ②⇒m∥n；③⇒m⊥n; ④⇒n⊥α.A．1 B．2 C．3 D．4提示：C ①②③正确，④中 n 与平面 α 可能有：n⊂α 或 n∥α 或相交(包括n⊥α)．4．在斜三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点 C1在底面 ABC 上的投影 H必在( )A．直线 AB 上 B．直线 BC 上C．直线 AC 上 D．不能确定提示：A 由 AC⊥BC1，AC⊥AB，得 AC⊥平面 ABC1，...