7.3 球的表面积和体积[学习目标] 1.了解球的截面． 2.掌握球的表面积和体积公式． 3.会运用这些公式进行简单的有关计算.【主干自填】1．球的表面积公式：S 球面＝□4πR2(R 为球的半径)．2．球的体积公式：V 球＝□πR3(R 为球的半径)．【即时小测】1．思考下列问题(1)用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为 R，截面圆的半径为 r，OO′＝d.在 Rt△OO′C 中，OC2＝OO′2＋O′C2，即 R2＝r2＋d2.(2)球的半径为 R，它的体积公式为________，它的表面积公式________，观察这两个公式，想想它们都有什么特点？提示：V＝πR3 S＝4πR2 这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径 R 唯一确定．其中球的体积是半径 R 的三次函数，球的表面积是半径 R 的二次函数，并且表面积为半径为 R 的圆面积的 4 倍．2．球的表面积扩大 2 倍，球的体积扩大( )A．2 倍 B.倍 C．2 倍 D．3 倍提示：C 球的表面积扩大 2 倍，半径扩大倍，从而体积扩大()3＝2 倍．3．两个球的半径之比为 1∶3，那么两个球的表面积之比为( )A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1提示：A 设两球的半径为 R1，R2， R1∶R2＝1∶3，∴两个球的表面积之比为 S1∶S2＝4πR∶4πR＝R∶R＝1∶9.例 1 已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．[解] 如图所示，设球心为 O，截面圆圆心 O1，球半径为 R，连接 OO1，则 OO1是球心到截面的距离．由于 OA＝OB＝OC＝R，则 O1是△ABC 的外心．设 M 是 AB 的中点，由于 AC＝BC，则 O1在 CM 上．设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB，则 O1A＝，O1C＝CM－O1M＝－x.又 O1A＝O1C，∴＝－x.解得 x＝.则 O1A＝O1B＝O1C＝.在 Rt△OO1A 中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R.由勾股定理，得 2＋2＝R2.解得 R＝.故 S 球面＝4πR2＝54π，V 球＝πR3＝27π.类题通法球的表面积和体积的解题方法计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视． 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面面积为 2π，则球的体积为( )A.π B. C．8π D．4π答案 D...
