高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.1 三角函数的周期性导学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

1．3.1 三角函数的周期性课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例 1】 求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+);（2）y=3sin(+).思路分析：运用周期函数的定义即可.解：（1）令 z=x+,而 sin(2π+z)=sinz,即 f(2π+z)=f(z),f［(2π+x)+ ］=f(x+).∴周期 T=2π.(2)令 z=+,则 f(x)=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(++2π)=3sin()=f(x+4π).∴T=4π.温馨提示 理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个 x 满足 f(x+T)=f(x),而非某一个 x值.也可用公式 T=求周期.2.判断函数是否具有周期性和求周期【例 2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为 π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为.思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x),∴y=cos2x+sin2x 的周期是 π.(2)f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x),∴y=|sinx|+|cosx|的周期是.温馨提示 “f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例 3】证明 y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设 y=sin|x|是周期函数，且周期为 T，则 sin|x+T|=sin|x|(x∈R).(1)当 T≥时，令 x=,得 sin|+T|=sin||sin(+T)=sincosT=1;令 x=-,得 sin|-+T|=sin|-|sin(-+T)=sin-cosT=1cosT=-1.由此得 1=-1,这一矛盾说明 T≥不可能.(2)当 T≤-时,令 x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥,由(1)知这是不可能的.(3)当-＜T＜时,令 x=0 得,sin|T|=sin|0|sinT=0T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故 y=sin|x|不是周期函数.温馨提示 进一步理解定义,① 存在一个常数 T≠0;② 当 x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有 f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练 1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x;(3)f(x)=2sin().解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为 2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为 π.(3)f(x)=2sin()=2sin(+2π)＝2sin［(x+)+］=f(x+4π),函数的最小正周期为 4π.变式提升 1定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π,且当 x∈［0,］时,f(x)=sinx,则 f(π)的值为（ ）A. B. C. D.解析：由题意:...