高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.4 三角函数的应用导学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

1.3.4 三角函数的应用课堂导学三点剖析1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题【例 1】 设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数，其中 0≤t≤24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的对应数据.t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1 经长期观察，函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y=k+Asin(ωt+φ)的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A.y=12+3sint,t∈［0,24］ B.y=12+3sin(t+π),t∈［0,24］C.y=12+3sint,t∈［0,24］ D.y=12+3sin(t+),t∈［0,24］思路分析：考查函数 y=Asin(ωx+φ)在实际问题中的近似估计.解析：在给定的四个选项 A、B、C、D 中我们不妨代入 t=0 及 t=3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 A.答案：A温馨提示 函数的模型只能近似刻画某个时段的水深变化情况，通常我们都要结合实验数据通过代入检验来不断改进函数模型.2.从实际问题中抽象出三角函数模型【例 2】如下图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.思路分析：本题考查知图求式问题.利用图象给出的条件，利用待定系数法求 A、ω、φ.解：（1）由题图所示这段时间的最大温差是 30-10=20 ℃.(2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象，∴·=14-6,解得 ω=.由图得 A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.于是 y=10sin(x+φ)+20，将 x=6,y=10 代入得 sin(+φ)=-1,由“五点法”作图原理知+φ=.∴φ=.综上，所求解析式为 y=10sin(x+)+20,x∈［6,14］.温馨提示（1）一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应特别注意自变量的取值范围.（2）利用图象研究函数的性质，观察分析函数的图象，易求单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质. 3.将实际问题数学化【例 3】已知某海滨浴场的海浪高度 y（米）是时间 t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：t（时）03691215182124y（米）1.51.00.51.01.510.50.991.5 经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acosωt+b.（1）根据以上数据，求出函数 y=Acostx+b 的最小正周期 T、振幅 A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1...