高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

1.3 三角函数的图象和性质典题精讲例 1 求函数 y=的值域.思路分析:此类题型可转化为分式函数值域的求法，即分离常数法，或通过反解 sinx 法，利用 sinx 的值域确定原函数的值域.解:由 y=,得 sinx=. |sinx|≤1,∴||≤1.解得-2≤y≤.∴ymax=，此时 sinx=1； ymin=-2，此时 sinx=-1.∴函数的值域为［-2,］. 绿色通道:本题的解法对形如“求 y=或 y=的函数的值域(或最大值、最小值)”问题 具有一般性.变式训练 (2006 安徽高考卷，理 8) 设 a>0，对于函数 f(x)=(00，所以 y=1+,t∈(0,1］是一个减函数.故选 B.答案:B例 2 求下列函数的周期:(1)y=cos2x；(2)y=-2cos(-x-1)；(3)y=|sin2x|；(4)y=cos3x+sin2x.思路分析:(1)复合函数，可以通过变量替换归结为基本三角函数去处理；(2)先用诱导公式将 ω 转化为正值，再用 T=来求；(3)可利用绝对值的意义及图象法求；(4)可用最小公倍数法.解:(1)把 2x 看成一个新的变量 u，那么 cosu 的最小正周期是 2π，这就是说，当 u 增加到u+2π 且必须增加到 u+2π 时，函数 cosu 的值重复出现，而 u+2π=2x+2π=2(x+π)，所以当自变量 x 增加到 x+π 且必须增加到 x+π 时，函数值重复出现，因此，y=cos2x 的周期为π.(2)y=-2cos(-x-1)=-2cos(x+1),T==4π.(3)因为 y=|sinx|的周期是=π，故 y=|sin2x|的周期是.(4)y1=cos3x 的周期 T1=；y2=sin2x 的周期 T2==π，因为 T1=,T2=且 4 与 6的最小公倍的数是 12，所以 T==2π. 绿色通道:周期的求法除应用定义及有关结论公式外，还可以作出图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法，另外最小公倍数法也要灵活掌握.变式训练 (2006 湖南高考卷，文 8) 设点 P 是函数 f(x)=sinωx 的图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值为，则 f(x)的最小正周期是( )A.2π B.π C. D.思路解析:根据图象，知对称中心到对称轴的最短距离为，所以=，得 T=4·=π.所以最小正周期为 π.答案:B例 3 若 α、β 为第三象限角，且 α>β，则_______________.A.cosα>cosβ B.cosα