1.7 正切函数课堂导学三点剖析1.正切的性质及诱导公式【例 1】 求函数 y=tan(3x-)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性.思路分析：把 3x-看作一个整体，利用 tanx 的单调性.解：由 3x-≠kπ+，得 x≠+,∴所求定义域为{x|x∈R,且 x≠+,k∈Z}，值域为 R，周期 T=，是非奇非偶函数. 由于 y=tanx,x∈(kπ-,kπ+)(k∈Z)是增函数，∴kπ-＜3x-＜kπ+(k∈Z),即-＜x＜+(k∈Z).因此，函数的单调递增区间为（-,+）(k∈Z).友情提示 y=Atan(ωx+φ)（其中 A≠0,ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：（1）把“ωx+φ(ω＞0)”看为一个“整体”；（2）A＞0(A＜0)时，y=tanx(x≠+kπ)的单调区间对应的不等式相同（反）.各个击破类题演练 1求下列函数的周期：（1）y=tan；(2)y=tan(2x+).解析：（1）y=tan=tan(+π)=tan［(x+)］∴T=.(2)y=tan(2x+)=tan(2x++π)=tan［2(x+)+］,∴T=.变式提升 1试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=1-2cosx+|tanx|;(2)f(x)=x2tanx-sin2x.解析:(1)因为该函数的定义域是{x|x≠+kπ,k∈Z},关于原点对称,且 f(-x)=1-2cos(-x)+|tan(-x)|=1-2cosx+|tanx|=f(x),所以函数 f(x)为偶函数.(2)因为函数 f(x)的定义域是{x|x≠+kπ,k∈Z},关于原点对称,又 f(-x)=(-x)2tan(-x)-sin2(-x)=-x2tanx-sin2x,f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x),所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.2.正切函数的图象和性质的综合应用【例 2】 作出函数 y=|tanx|的图象，并根据图象求其单调区间.思路分析:要作出函数 y=|tanx|的图象，可先作出 y=tanx 的图象，然后将它在 x 轴上方的图象保留，而将其在 x 轴下方的图象向上翻折（即作出关于 x 轴对称的图象）就可得到 y=|tanx|的图象.解析：由于 y=|tanx|=(k∈Z), 所以其图象如下图所示，单调增区间为［kπ,kπ+）(k∈Z)；单调减区间为（kπ-,kπ］(k∈Z).友情提示 利用正切函数的图象过（-,-1）(,1)(0,0)三点且以 x=-,x=为渐近线，根据这三点两线可以大体勾画出 y=tanx 的图象，再利用图象变换得到题目要求的图象，推导出函数性质.类题演练 2分别作出和-的正弦线,余弦线和正切线.解析:(1)在直角坐标系中作单位圆如右图,以 Ox 轴正方向为始边作的终边与单位圆交于 P 点,作 PM⊥Ox 轴,垂足为 M,由单位圆与 Ox 正方向的交点 A 作 Ox 轴的垂线与 OP 的反向延长线交于 T 点,则 sin=MP,cos=OM,tan=AT. 即的正弦线为 M...
