高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(二)学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

1.3.2 三角函数的图象与性质(二)[学习目标] 1.掌握 y＝sin x 与 y＝cos x 的周期、最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握 y＝sin x，y＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．[知识链接]1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数 y＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数 y＝cos x 的图象关于 y 轴对称．2．上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答 正弦函数是 R 上的奇函数，余弦函数是 R 上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x 均对一切 x∈R 恒成立．3．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少．答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是 1 和－1.[预习导引]正弦函数、余弦函数的性质：函数y＝sin xy＝cos x图象定义域RR值域[ － 1,1] [ － 1,1] 对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减最值在 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在 x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1在 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在 x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1要点一 求正弦、余弦函数的单调区间例 1 求函数 y＝2sin 的单调递增区间．解 y＝2sin＝－2sin，令 z＝x－，则 y＝－2sin z.因为 z 是 x 的一次函数，所以要求 y＝－2sin z 的递增区间，即求 sin z 的递减区间，即 2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴函数 y＝2sin 的递增区间为(k∈Z)．规律方法 用整体替换法求函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中 x 的系数为负数，先利用诱导公式将 x 的系数变为正数再求其单调区间，再将最终结果写成区间形式．跟踪演练 1 求下列函数的单调递增区间：(1)y＝1＋2sin；(2)y＝logcos x.解 (1)y＝1＋2sin＝1－2sin.令 u＝x－，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是 y＝sin u 的单调递...