高中数学 第一章 三角函数 1.9 半角的三角函数课堂导学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

1.9 半角的三角函数课堂导学三点剖析1.半角公式【例 1】 的值等于（ ）A.-2 B.2- C.2+ D.-(2+)思路分析:题目中所出现的三个解之间的关系是解题的突破口.解析:6°=15°-9°原式==tan15°==2-答案:B友情提示 本小题考查角的变化技巧和两角和、差的正、余弦公式，半角的正切公式等基础知识 ，以及基本的运算能力.各个击破类题演练 1已知 tanα=a,求的值.解析: tanα=，∴=tanα.即=a.变式提升 1函数 f(x)=是（ ）A.奇函数 B.偶函数C.即奇又偶函数 D.非奇非偶函数解析：∵cosx+sinx≠-1,即sin(x+)≠-1，即 sin(x+)≠,∴x+≠2kπ-π 且 x+≠2kπ-(k∈Z),即 x≠2kπ-π 且 x≠2kπ-(k∈Z).显然函数定义域在 x 轴上表示的区间不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数.答案：D2.半角公式符号的选择【例 2】 已知 π＜α＜,则的值是（ ）A.-2sin(+) B.2sin(-)C.2cos(+) D.-2sin(-)思路分析:把根号下的代数式化为平方形式，达到去根号的目的.解析:π＜α＜,<<,cos<0,sin>0.原式=cossin=-2sin(+).答案：A友情提示 利用半角公式时，要先明确所在象限，再来确定的三角函数值的符号.类题演练 2若π<α<2π，且 cosα=,求的值.解析：∵π<α<2π,∴π<<π,又 cosα=,∴cos,∴原式==|cos|=-cos=.变式提升 2设 5π<θ<6π,cos=a,那么 sin等于（ ）A. B.C. D.解析:由 5π<θ<6π,则<<3π,<<,则 sin=.答案：D3.半角公式与降幂公式综合应用【例 3】 已知 cos(α+)=,≤α<，求 cos(2α+)的值.思路分析：先将 cos(2α+)变形为用已知角或有关的角来表示.解：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α).∵≤α<,∴≤α+<.又∵cos(α+)>0,∴<α+<.∴sin(α+)=.∴cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=,sin2α=-cos(+2α)=1-2cos2(α+)=.∴原式=×(+)=.友情提示 本题若不注意 cos(α+)=对 α+的限制，在求 sin(α+)时，会出现两种情况.类题演练 3若 α∈（,π），则=______________--.解析：<α<π,<<,.原式=.答案：变式提升 3已知 sinφ·cosφ=,且<φ<,求 sinφ,cosφ 的值.解析：∵sinφcosφ=,∴sin2φ=.又∵<φ<,<2φ<π,cos2φ<0,∴cos2φ=.sinφ>0,cosφ>0,∴sinφ=,cosφ=.