高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案VIP专享

1.6 微积分基本定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P51～P54的内容，回答下列问题．(1)观察教材 P51图 1.6－1，一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，设这个物体在时间段[a，b]内的位移为 s.① 由导数的概念可知，它在任意时刻 t 的速度 v(t)与 y(t)之间有什么关系？提示：v ( t ) ＝ y ′( t ) ． ② 如何利用 y＝y(t)表示物体在 t∈[a，b]上的位移 s?提示：s ＝ y ( b ) － y ( a ) ． ③ 若 v(t)表示物体在任意时刻 t 的速度，如何用 v(t)求物体在 t∈[a，b]上的位移 s?提示：s＝v(t)dt.④ 由①②③能否得出结论 s＝v(t)dt＝y′(t)dt＝y(b)－y(a)成立？提示：能．(2)计算定积分 sin xdx，sin xdx，sin xdx，由计算结论你能发现什么规律？提示：sin xdx＝2，sin xdx＝－2， sin xdx＝0. 即定积分的值可正， 可负，还可能为 0.(3)根据 sin xdx，sin xdx 和 sin xdx 值的特点以及曲边梯形的面积，你能得出定积分与曲边梯形的面积有什么关系吗？(参阅教材 P54图 1.6－3，图 1.6－4，图 1.6－5)．提示：当曲边梯形在 x 轴上方时，定积分的值取正值；当曲边梯形在 x 轴下方时，定积分的值取负值；当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0.2．归纳总结，核心必记(1)微积分基本定理内容如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f ( x ) ，那么 f(x)dx＝F ( b ) － F ( a ) ． 符号f(x)dx＝F(x)＝F ( b ) － F ( a ) .(2)定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下．则① 当曲边梯形在 x 轴上方时，如图(1)，则 f(x)dx＝S 上．② 当曲边梯形在 x 轴下方时，如图(2)，则 f(x)dx＝－ S 下．③ 当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则 f(x)dx＝S 上－ S 下，若 S 上＝S 下，则 f(x)dx＝0.[问题思考](1)满足 F′(x)＝f(x)的函数 F(x)唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．(2)如果 f(x)dx＝g(x)dx，那么是否一定有 f(x)＝g(x)？请举例说明．提示：不一定，例如：当 f(x)＝2x，g(x)＝3x2时，2xdx＝3x2dx，但 f(x)≠g(x)．(3)如图，如何用阴影面积 S1，S2，S3表示定积分 f(x)dx 的值？提示：f(x)dx＝S1－S2＋...