高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用学案（含解析）新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

1.7.1 定积分在几何中的应用[学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解．[知识链接]1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当 f(x)<0 时，f(x)与 x 轴所围图形的面积怎样表示？答 如图，因为曲边梯形上边界函数为 g(x)＝0，下边界函数为 f(x)，所以 S＝(0－f(x))dx＝－f(x)dx.[预习导引] 曲边梯形面积的表达式(1)当 x∈[a，b]时，若 f(x)>0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 S＝f ( x )d x .(2)当 x∈[a，b]时，若 f(x)<0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)围成的曲边梯形的面积 S＝－ f ( x )d x .(3)(如图)当 x∈[a，b]时，若 f(x)>g(x)>0 时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝[ f ( x ) － g ( x )]d x .要点一 不分割型图形面积的求解例 1 求由抛物线 y＝x2－4 与直线 y＝－x＋2 所围成图形的面积．1解 由得或所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形可得S＝－3[(－x＋2)－(x2－4)]dx＝－3(－x2－x＋6)dx＝＝－＝.规律方法 不分割型图形面积的求解步骤：(1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；(4)计算得所求面积．跟踪演练 1 求由曲线 y＝2x－x2，y＝2x2－4x 所围成的图形的面积．解 由得 x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为S＝[(2x－x2)－(2x2－4x)]dx＝(－3x2＋6x)dx＝(－x3＋3x2)＝4.要点二 分割型图形面积的求解例 2 求由曲线 y＝，y＝2－x，y＝－x 所围成图形的面积．解 法一 画出草图，如图所示．解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以 S＝dx＋dx＝dx＋dx＝＋＝＋6－×9－2＋＝.法二 若选积分变量为 y，则三个函数分别为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以 S＝－1[(2－y)－(－3y)]dy＋0[(2－y)－y2]dy2＝－1(2＋2y)dy＋0(2－y－y2)dy＝(2y＋y2)＋＝－(－2＋1)＋2－－＝.规律方法 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上...