高中数学 第一章 导数及其应用本章诊疗学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

第一章 导数及其应用一、变化率与导数1．函数在0xx处的导数是根据瞬时变化率定义的，即0000()()()limxf xxf xfxx；运用其解题易忽视增量 x 必须一样，否则产生错解．2．函数( )yf x在点0xx处的导数的几何意义，就是曲线( )yf x在点00(,)P xy处的切线的斜率．即斜率为0()fx，过点 P 的切线方程为000()()yyfxxx．注意“过某点的切线”与“在某点的切线”是不同的．3．0()fx与( )fx的关系：0()fx表示( )f x 在0xx处的导数，即0()fx是函数在某一点的导数，也就是一个常数；( )fx表示函数( )f x 在某一给定开区间 ( , )a b 内的导数，此时( )fx是在( , )a b 上 x 的函数，即( )fx是在( , )a b 内任意一点的导数．例 1 设( )f x 是可导函数，且满足0(1)(1 2 )lim1xffxx，则过曲线( )yf x上点(1,(1))f处的切线斜率为（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 12 (D) 12 错解：由导数的定义可知0(1)(1 2 )(1)lim1xffxfx，再结合导数的几何意义知，过曲线( )yf x上点(1,(1))f处的切线斜率为 1，选 B．剖析： (1 2 )fx中增量为2x ，而分母中增量为 x ，显然增量不一致，上述解法忽视了增量的一致性产生了错解；故需通过配凑增量的系数来解决问题．正解：000(1)(1 2 )(1)(1 2 )(1)(1 2 )limlim2lim222xxxffxffxffxxxx0(1)(1 2 )2lim2(1)12xffxfx，∴1(1)2f ，故选 D．【针对练习 1】已知函数4223xxxf)(，当 x 无限趋近于 0 时，则有(12)(1)fxfx = ．例 2 求曲线 C：33xxy过点)2,2( A的切线方程.错解：因为点 A 在曲线 S 上，所以斜率'29xky，因此过点 A 的切线方程为： 10169 yx. ．剖析: 上述解法漏掉一解，切线方程为20y  的情况．错误原因是混淆“过某点的切线”与“在某点的切线”两个概念．正解：设切点为),(00 yxP,则 P 点处的切线l 的方程是：))(33(0200xxxyy，因为 A 点在直线l 上，所以：)2)(33(0200xxyy……………….(1) 又因为点 P 在曲线 S 上，所以：30003xxy………(2) 由（1）、（2）解得，20 x或10x. 当20 x时，P 点坐标为)2,2( ，切线方程是：0169 yx；当10x时， P 点坐标为)2,1(，切线方...