第一章 导数及其应用章末复习提升课 变化率与导数[问题展示] (教材 P10 习题 1.1A 组 T4)已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．如果车辆启动后车轮转动第一圈需要 0.8 s，求转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度．【解】 设车轮旋转的角度为 θ，时间为 t，依题意有 θ＝kt2(k＞0)．因为车辆启动后车轮转第一圈需要 0.8 s，所以 2π＝k·0.82，k＝π，即 θ＝t2.θ′(t)＝lim ＝t，θ′(3.2)＝×3.2＝20π(rad/s)，即车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度为 20π rad/s.车轮旋转开始后，多长时间，瞬时角速度可以达到 100π rad/s.【解】 由 θ′(t)＝πt 得 100π＝πt，所以 t＝16 s，即车轮旋转开始后，16 s 时瞬时角速度可以达到 100π rad/s.若 a，b，t 均为正值，且 b＞a，求证：时间段[a，b]内的平均变化率小于时间段[a＋t，b＋t]内的平均变化率．【证明】 由 θ＝t2知，在时间段[a，b]与[a＋t，b＋t]内的平均变化率之差K1－K2＝－＝－t.由于 t＞0，所以 K1－K2＜0，即 K1＜K2.即在时间段[a，b]内的平均变化率小于时间段[a＋t，b＋t]内的平均变化率． 导数的几何意义[问题展示] (教材 P18 习题 1.2A 组 T6)已知函数 y＝xln x.(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图象在点 x＝1 处的切线方程．【解】 (1)因为 y＝xln x，所以 y′＝(xln x)′＝x′(ln x)＋(ln x)′·x＝1·ln x＋·x＝ln x＋1.(2)由导数的几何意义得函数的图象在点 x＝1 处的切线斜率 k＝y′|x＝1＝ln 1＋1＝1.又当 x＝1 时，y＝1×ln 1＝0，即切点为(1，0)，所以所求的切线方程为y－0＝1·(x－1)，即 x－y－1＝0.已知曲线 y＝xln x 的一条切线方程为 x－y＋c＝0.求切点坐标与 c 的值．【解】 因为 y＝xln x，所以 y′＝1·ln x＋·x＝ln x＋1.设切点为(x0，x0ln x0)．由切线方程 x－y＋c＝0 知，切线斜率 k＝1.所以 ln x0＋1＝1，即 x0＝1，x0ln x0＝0.所以切点为(1，0)，所以 1－0＋c＝0，即 c＝－1.已知曲线 C：y＝xln x 与直线 l：y＝x＋b(b＜0)．若曲线 C 上存在点 M 到直线 l 的距离的最小值为.求 b 的值；【解】 将直线 l 平移与 C 相切于点 M 时，M 即为存在的点，设 M 的坐标为(x0，x0ln x0)．由 y＝xln x 得 y′＝ln x＋1.所以 y′|x＝x0＝ln x0＋1，因为直线 l：y＝x＋b 的斜率 k＝1.所以 ln x0＋1＝1，即 x0＝1，故...
