第一章 三角函数1 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.一、知一求二例 1 已知 sin α＝，≤α≤π，则 tan α＝_________________________________.解析 由 sin α＝，且 sin2α＋cos2α＝1 得 cos α＝±，因为≤α≤π，可得 cos α＝－，所以 tan α＝＝－2.答案 －2点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.二、“1”的妙用例 2 证明：＝.证明 因为 sin2x＋cos2x＝1，所以 1＝(sin2x＋cos2x)3，1＝(sin2x＋cos2x)2，所以＝＝＝＝.即原命题得证.点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.三、齐次式求值例 3 已知 tan α＝2，求值：(1)＝________；(2)2sin2α－3cos2α＝________.解析 (1)因为 cos α≠0，分子分母同除以 cos α，得＝＝＝－1.(2)2sin2α－3cos2α＝，因为 cos2 α≠0，分子分母同除以 cos2α，得＝＝＝1.答案 (1)－1 (2)1点评 这是一组在已知 tan α＝m 的条件下，求关于 sin α、cos α 的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于 sin α、cos α 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为 cos α≠0，所以分子、分母可同时除以 cosnα(n∈N＋).这样可以将所求式化为关于 tan α 的表达式，整体代入 tan α＝m 的值求解.2 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例 1 在(0，2π)内，使 sin x>cos x 成立的 x 的取值范围是________.解析 在同一坐标系中画出 y＝sin x，y＝cos x，x∈(0，2π)的图象如图：由图知，x∈(，).答案 (，)点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单.二、分类讨论思想例 2 已知角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sin α，cos α，tan α 的值.解 角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，在角 α 的终边上任取一点 P(4t，－3t)(t≠0)，则 x＝4t，y＝－3t，r＝＝＝5|t|.当 t>0 时，r＝5t，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－；当 t<0 时，r＝－5t，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－，综...
