第 2 课时 等差数列的性质及应用知识点一 等差中项 [填一填]如果在 a 与 b 之间插入一个数 A，使 a，A，b 成等差数列，那么 A 就叫作 a 与 b 的等差中项，其中 A＝.[答一答]1．任意两实数都有等差中项吗？提示：有．知识点二 等差数列的若干性质 [填一填](1)给出等差数列的任意两项 an，am，可得 d＝，an－am＝(n－m)d.(2)结合等差中项公式可知，若 m，n，p∈N＋，且 2p＝m＋n，则 2ap＝am＋an.若 m，n，p，q∈N＋，且 p＋q＝m＋n，则 ap＋ a q＝ a m＋ a n.(3)若数列{an}是公差为 d 的等差数列，① 数列{λan＋b}(λ，b 是常数)是公差为 λd 的等差数列．② 抽取下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为 md的新的等差数列．特殊地，一个等差数列的奇数项、偶数项构成的新数列依然为等差数列．③ 若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn}(k，m∈N＋)也成等差数列．[答一答]2．怎样判断一个数列是否为等差数列？提示：判断一个数列是否为等差数列的方法：(1)定义法：若 an－an－1＝d(d 是常数，n≥2，且 n∈N＋)，则数列{an}是等差数列．(2)等差中项法：若 2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且 n∈N＋)，则数列{an}是等差数列．(3)若 an＝kn＋b(k，b 为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列．1．证明{an}为等差数列的方法(1)用定义证明：an－an－1＝d(d 为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列．(2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列．(3)通项法：an为 n 的一次函数⇔{an}为等差数列．2．三数成等差数列的设法为：a－d，a，a＋d，其中 d 为公差；四数成等差数列的设法为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，其公差为 2d.类型一 等差中项的应用 【例 1】 已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．【思路探究】 解答本题的关键是如何转化为恒等式的证明.，，成等差数列，则＋＝，要证结论成立，只要证明＋＝即可．【证明】 证明：证法一：因为，，成等差数列，所以＝＋，即 2ac＝b(a＋c)．因为＋＝＝＝＝＝，所以，，成等差数列，证法二：因为，，成等差数列，所以，，成等差数列，即＋1，＋1，＋1 成等差数列，所以，，成等差数列．规律方法 证明三个数成等差数列，一般可根据定义或等差中项将问题转化为证明等式成立，根据等差数列各项乘以(或除以)同一个常数(非零整数)或加(或减)同一个常数所得数列仍是等差数列，再结合问题条件亦可证明．...
