2.2 点的极坐标与直角坐标的互化教学建议1.将极坐标系与直角坐标系建在一起,通过例题分析,让学生弄清两者之间的转化关系.2.借助于例题讲解和易错辨析,使学生明确点的极坐标的不唯一性.3.引入极坐标系的原因.我们描述一个人所走的方向和路程,经常这样说:从 A 点出发向北偏东 60°方向走了一段距离到 B 点,再从 B 点向南偏西 15°方向行走;我们描述某飞机的位置:飞行高度 1 200 米,从飞机上看地平面控制点 B 的俯角 α=16°31'.这种位置的刻画能够给我们一个很直观的形象.因此,使用极坐标是我们生产生活的需要.4.极坐标与直角坐标的相同点和不同点极坐标系是用距离和角度来表示平面上的点的位置的坐标系,它由极点 O 与极轴 Ox 组成.对于平面内任一点 P,若|OP|=ρ(ρ≥0),以 Ox 为始边,OP 为终边的角为 θ,则点 P 可用有序实数对(ρ,θ)表示.直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的,首先定义原点,接着用两条互相垂直的直线分别构成 x 轴和 y 轴.点的位置用有序实数对(x,y)来表示.在平面直角坐标系内,点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的,但在极坐标系内,虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点 P 对应,但一个点 P 却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.也就是说平面上一点的极坐标是不唯一的.极坐标系中的点与有序实数对(ρ,θ)不是一一对应的.备选习题1.已知极点在点(2,-2)处,极轴方向与 x 轴正方向相同的极坐标系中,点 M 的极坐标为,求点 M 在直角坐标系中的坐标.解:设 M(x,y),则 x-2=ρcos θ=4cos=2,∴x=2+2,y-(-2)=ρsin θ=4sin=2.∴y=2-2=0.∴点 M 的直角坐标为(2+2,0).2.已知∠AOB=,点 P 在 OA 上,点 Q 在 OB 上,M 是 PQ 的中点,且△POQ 的面积为 8,试问能否确定 OM 的最小值?若能,求出其最小值;若不能,请说明理由.解:以 O 为极点,OB 为极轴建立极坐标系,如图并设 P,Q(ρ2,0),则由题意,有ρ1ρ2sin=8,即 ρ1ρ2=.又因为 S△POM=ρρ1sin=4,S△QOM=ρρ2sin θ=4,所以两式相乘,得 ρ2·ρ1ρ2sinsin θ=64.所以 ρ2=,从而当且仅当 cos=1,即 θ=时,ρ2取到最小值 8,故|OM|取到最小值 2.
