3 柱坐标系和球坐标系教学建议1.通过例题演示,让学生清楚如何确定一个点的坐标,及三种坐标的转化技巧.2.运用数学知识来解释经纬度.(1)经线与经度:地球球面上从北极到南极的半个大圆叫作经线,规定经过英国格林尼治天文台旧址的经线为 0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的半平面和 0°经线所在半平面之间的夹角的度数,以 0°经线为基准,向东度量的为东经,向西度量的为西经.如东经30°,西经 60°等.(2)纬线与纬度:与地轴(通过北极和南极的直线)垂直的平面截地球球面所得的圆叫作纬线,其中大圆叫作赤道.一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数,赤道为 0°纬线;以赤道为基准,向北度量为北纬,向南度量为南纬.如北纬 25°,南纬23.5°等. 备选习题1.建立适当的球坐标系,求棱长为 1 的正方体各顶点的坐标.解:以正方体的一个顶点为极点,以此顶点处的三条棱所在直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系,则有 O(0, 0,0),A,B,C,D(1,0,0),E,F,G.2.建立适当的柱坐标系,表示棱长为 3 的正四面体(棱长都相等的三棱锥)各个顶点的坐标.分析:建系以尽量过最多点为宜,找到相应坐标.解:以正四面体的一个顶点 B 为极点 O,选取以 O 为端点且与 BD 垂直的射线 Ox 为极轴,过 O点,与平面 BCD 垂直的直线为 z 轴,建立如图所示的柱坐标系.过 A 作 AA'垂直于平面 BCD,垂足为 A',则|BA'|=3×,|AA'|=,∠A'Bx=,则 A,B(0,0,0),C,D.3.在 yOz 平面内,作抛物线 z=y2.再以 Oz 轴为旋转轴,把该抛物线旋转一周,得到了一个旋转抛物面.现建立柱坐标系,在此旋转抛物面上有一质点 P,其高度为 3,P 在 xOy 平面上的射影为 P'.若∠xOP'=,求点 P 的空间直角坐标、球坐标与柱坐标.解:如图,因为当 z=3 时,旋转抛物面上的点组成一个圆,圆的半径为,所以|OP'|=.故 x=cos=-,y=sin;∠zOP=,|OP|==2.所以,点 P 的直角坐标为 P,球坐标为 P,柱坐标为 P.
