1.4 圆的极坐标方程 [读教材·填要点]圆的极坐标方程(1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且圆过极点 O，则圆的极坐标方程为 ρ＝2acos θ，－≤θ≤.(2)圆心在点处，且过极点的圆的极坐标方程为 ρ ＝ 2 a sin _θ ， 0≤ θ ≤π .[小问题·大思维]相等的圆在同一极坐标中，极坐标方程是否相同？提示：不一定．相等的圆只要在极坐标系中圆心的位置不同，极坐标方程就不一样．求圆的极坐标方程[例 1] 求圆心在 A，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．[思路点拨] 结合题意作出图形，设出动点 M(ρ，θ)，根据条件建立 ρ，θ 的关系式化简可求．[精解详析] 如图，设 M(ρ，θ)为圆上除 O，B 外的任意一点，连接 OM，MB，则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝θ－，∠BMO＝，从而△BOM 为直角三角形，所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB，即 ρ＝4cos＝－4sin θ，故所求圆的极坐标方程为 ρ＝－4sin θ，∴x2＋y2＝－4y，即 x2＋(y＋2)2＝4 为所求圆的直角坐标方程．(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法相同．(2)用代入法求极坐标方程，设出要求轨迹的点的极坐标和与之相关的点的坐标，用相关点的坐标表示要求点的坐标，然后代入相关点坐标所满足的关系式即可求得要求点的轨迹方程．1．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为，半径为 3，Q 点在圆周上运动．(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)若 P 是 OQ 的中点，求 P 的轨迹．1解：(1)如图，设 Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连接 DQ，OQ，则|OD|＝6，∠DOQ＝－θ，或∠DOQ＝θ－，∠DQO＝.在 Rt△ODQ 中，|OQ|＝|OD|cos，即 ρ＝6cos.(2) 若 P 的 极 坐 标 为 (ρ ， θ) ， 则 Q 点 的 极 坐 标 为(2ρ，θ)．∴2ρ＝6cos.所以 ρ＝3cos.∴P 的轨迹是圆．直线与圆的极坐标方程的应用[例 2] 在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ 和直线 l：ρsin＝.(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标．[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐标方程的求法．解答本题需要先求出圆与直线的一般方程，然后化一般方程为极坐标方程即可．[精解详析] (1)圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ，即 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆 O 的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即 x2＋y2－x－y＝0.直线 l：ρsin＝，...
