高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.1.3 平行截割定理学案 新人教B版选修4-1-新人教B版高二选修4-1数学学案

1．1.3 平行截割定理[读教材·填要点]1．平行截割定理(1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例．(2)符号语言表示：如图，若 l1∥l2∥l3，则＝.2．平行截割定理的推论(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．(2)符号语言表示：如图，若 l1∥l2∥l3，则＝＝.[小问题·大思维]1．在平行截割定理中，被截的两条直线 m，n 应满足什么条件？提示：被截取的两条直线 m、n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线a、b、c 都相交．2．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”，是否仍然成立？提示：仍然成立．利用定理证明“比例式”[例 1] 已知：如图，l1∥l2∥l3，＝.求证：＝.[思路点拨] 本题考查平行截割定理及比例的基本性质．解答本题需要利用定理证得＝，然后利用比例的有关性质求出即可．1[精解详析] l1∥l2∥l3，∴＝＝.∴＝，＝，即＝，∴＝.解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有：(1)比例的基本性质：＝(bd≠0)⇔ad＝bc；＝(bc≠0)⇔b2＝ac；＝(abcd≠0)⇔＝.(2)合分比性质：如果＝，那么＝.(3)等比性质：如果＝＝…＝(bd…n≠0，b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.1．如图，已知在△ABC 中，∠BAC＝120°，AD 平分∠BAC 交 BC 于D.求证：＝＋.证明：过 D 点作 DE∥AB 交 AC 于 E 点， ∠BAC＝120°，AD 平分∠BAC，∴∠DAE＝60°，∠BAD＝60°. DE∥AB，∴∠ADE＝60°，∴AD＝DE＝AE，∴＝＝.∴＋＝＋＝＋. ＋＝＝1，∴＋＝1.∴＋＝.利用定理证明“乘积式”[例 2] 如图所示，已知直线 l 截△ABC 三边所在的直线分别于 E，F，D 三点，且 AD＝BE.求证：EF·CB＝FD·CA.[思路点拨] 借助平行线分线段成比例定理即可证得．[精解详析] 法一：如图 1，过 D 作 DK∥AB 交 EC 于点 K，则＝，＝，即＝. AD＝BE，∴＝，∴＝.即 EF·CB＝FD·CA.图 1法二：如图 2，过 E 作 EP∥AB，交 CA 的延长线于点 P.2 AB∥EP，∴＝，即＝.在△DPE 中， AF∥PE，∴＝. AD＝BE，∴＝.∴EF·CB＝FD·CA.图 2法三：如图 3，过 D 作 DN∥BC，交 AB 于 N. ND∥EB，∴＝， DN∥BC，∴＝，即＝. AD＝EB，∴＝，即 EF·CB＝FD·CA.图 3本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到与的比值关系，再借助等量代换，使...