1．1.4 锐角三角函数与射影定理[对应学生用书 P12][读教材·填要点]1．锐角三角函数的定义含有相等锐角 α 的所有直角三角形都相似，锐角三角函数(或三角比)为：sinα＝，cosα＝，tanα＝.2．射影定理(1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．(2)符号语言表示：如图若 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高，则：①AC2＝AD · AB ②BC2＝BD · AB ③CD2＝AD · BD [小问题·大思维]1．线段的正射影还是线段吗？提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点．2．如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在 Rt△ABC 中， AB2＝AC2＋BC2，∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2，即 2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，∴2AD·DB＝2CD2，即 CD2＝AD·DB.在 Rt△ACD 中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，即 AC2＝AD·AB.在 Rt△BCD 中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，即 BC2＝BD·AB.1[对应学生用书 P13]利用射影定理解决求值问题[例 1] 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，已知 BD＝4，AB＝29，试求 BC，AC 和 CD 的长度．[思路点拨] 本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答本题可由已知条件先求出 AD，然后利用射影定理求 BC，AC 和 CD 的长度．[精解详析] BD＝4，AB＝29，∴AD＝25.由射影定理得 CD2＝AD·BD＝25×4＝100，∴CD＝10.BC2＝BD·BA＝4×29.∴BC＝2.AC2＝AD·AB＝25×29，∴AC＝5.运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理．1．在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于 D，若 BD∶AD＝1∶9，则 tan∠BCD＝________.解析：由射影定理得 CD2＝AD·BD，又 BD∶AD＝1∶9，令 BD＝x，则 AD＝9x(x>0)．∴CD2＝9x2，CD＝3x.Rt△CDB 中，tan∠BCD＝＝＝.答案：利用射影定理解决证明问题[例 2] 如图所示，在△ABC 中，∠CAB＝90°，AD⊥BC 于 D，BE 是∠ABC的平分线，交 AD 于 F.求证：＝.[思路点拨] 本题考查射影定理的应用，利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证得．[精解详析] 由三角形的内角平分线定...
