2．4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程[对应学生用书 P12]曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)互化的前提条件：① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合．② 极坐标系中的极轴与直角坐标系中的 x 轴的正半轴重合．③ 两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式：(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：ρ＝.ρ＝1 和 ρ＝－1 是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？提示：唯一的一个，x2＋y2＝1.[对应学生用书 P13]将直角坐标方程化成极坐标方程[例 1] 把下列直角坐标方程化为极坐标方程．(1)x＋y＝0；(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；(3)(x－5)2＋y2＝25.[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此题，需要将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，及 x2＋y2＝ρ2代入直角坐标方程，再化简即可．[精解详析] (1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 x＋y＝0 得 ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ.∴tan θ＝－1.∴θ＝(ρ≥0)和 θ＝(ρ≥0)．综上所述，直线 x＋y＝0 的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)和 θ＝(ρ≥0)．(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 x2＋y2＋2ax＝0 得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，即 ρ(ρ＋2acos θ)＝0.∴ρ＝－2acos θ.∴圆 x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为 ρ＝－2acos θ.(3)(x－5)2＋y2＝25，即：x2＋y2－10x＝0.1把 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ 代入上式得：ρ2－10ρcos θ＝0.即 ρ＝0 或 ρ＝10cos θ. 极点 ρ＝0 在圆 ρ＝10cos θ 上，∴所求圆的极坐标方程为 ρ＝10cos θ.将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性．1．把圆的直角坐标方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2化为极坐标方程．解：把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得(ρcos θ－a)2＋(ρsin θ－b)2＝r2.如果设圆心(a，b)的极坐标为(ρ0，θ0)，则a＝ρ0cos θ0，b＝ρ0sin θ0，再代入上方程可得：(ρcos θ－ρ0cos θ0)2＋(ρsin θ－ρ0sin θ0)2＝r2.∴ρ2(cos2θ ＋ sin2θ) － 2ρ0ρ(cos θcos θ0 ＋ sin θsin θ0) ＋ ρ(cos2θ0 ＋sin2θ0)＝r2.∴ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ...
