第 1 课时 柱坐标系[核心必知]1．柱坐标系的概念建立空间直角坐标系 O xyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ＜2π)来表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标．这时点 P 的位置可用有序数组( ρ ， θ ， z ) (z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P ( ρ ， θ ， z ) ，其中 ρ ≥0 ， 0≤ θ ＜ 2 π ， z ∈ R ．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．2．直角坐标与柱坐标的转化空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为[问题思考]1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．2．在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为 ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成 θ0角的射线，那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？提示：在空间的柱坐标系中 ， 方程 ρ ＝ ρ 0 表示中心轴为 z 轴 ， 底半径为 ρ 0 的圆柱面 ， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的．方程 θ ＝ θ 0 表示与 zOx 坐标面成 θ 0 角的半平面． 已知空间点 P 的直角坐标为(4，4，3)，求它的柱坐标．[精讲详析] 本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法，解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．由公式得 ρ2＝x2＋y2，z＝3.∴ρ2＝(4)2＋(4)2＝48＋16＝64，∴ρ＝8.tan θ＝＝＝，又 x>0，y>0，点在第一象限．∴θ＝.∴点 P 的柱坐标为(8，，3)．已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定 ρ 和 θ，尤其是 θ，要注意求出tan θ 还要根据点 P 所在的象限确定 θ 的值(θ 的范围是[0，2π))．1．已知空间点 M 的直角坐标为(－1，－，3)，求它的柱坐标．解：由公式得∴ρ2＝(－1)2＋(－)2＝4.∴ρ＝2.∴cos θ＝－，sin θ＝－.又 θ∈[0，2π)，∴θ＝π.即 M 的柱坐标为(2，π，3)． 已知点 P 的柱坐标为，求它的直角坐标．[精讲详析] 本题考查柱坐标与直角坐标的转化，解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可． P 点的柱坐标为(8，，4)，∴ρ＝8，θ＝.由公式得即∴P...
