高中数学 第一章 数列 2 等差数列 第4课时 等差数列的综合应用学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高中必修5数学学案

第 4 课时 等差数列的综合应用Q\s\up7(情景引入) 在我国古代，9 是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与 9 相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有 9 块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多 9 块石板，共有 9 圈．请问：(1)第 9 圈共有多少块石板？(2)前 9 圈一共有多少块石板？X\s\up7(新知导学) 1．等差数列前 n 项和的二次函数形式等差数列的前 n 项和 Sn＝na1＋d 可以改写成：Sn＝n2＋(a1－)n.当 d≠0 时，Sn是关于 n 的 二次 函数，所以可借助 二次 函数的有关性质来处理等差数列前 n 项和 Sn的有关问题．2．等差数列前 n 项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0.则 Sn存在最 大 值；a1<0，d>0，则 Sn存在最 小 值．3．等差数列奇数项与偶数项的性质(1)若项数为 2n，则S 偶－S 奇＝ nd ，＝ .(2)若项数为 2n－1，则S 奇－S 偶＝ a n ，＝ .4．an与 Sn的关系若数列{an}的前 n 项和记为 Sn，即 Sn＝a1＋a2＋…＋an，则 an＝.Y\s\up7(预习自测) 1．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8＝( C )A．45 B．75C．180 D．300[解析] 由 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，得a3＋a7＋a4＋a6＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.2．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9等于( B )A．63B．45C．36 D．27[解析] 解法一： {an}是等差数列，∴S3、S6－S3、S9－S6为等差数列．∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，1∴S9－S6＝2S6－3S3＝45.解法二： Sn为等差数列{an}的前 n 项和，令 bn＝，则{bn}成等差数列．由题设 b3＝＝3，b6＝＝6，∴b9＝2b6－b3＝9.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝9b9－36＝45.3．已知等差数列{an}中，前 15 项之和为 S15＝90，则 a8等于( A )A．6B．C．12 D．[解析] S15＝a1＋a2＋…a15＝15a8＝90，∴a8＝6.4．在等差数列{an}中，a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，则它的前 10 项和为 210 .[解析] 设等差数列{an}的公差为 d，解法一：a5＋a10＝2a1＋13d＝58，a4＋a9＝2a1＋11d＝50，∴a1＝3，d＝4，∴S10＝10×3＋×4＝210.解法二：a5＋a10＝(a1＋a10)＋4d＝58，a4＋a9＝(a1＋a10)＋2d＝50，∴a1＋a10＝42，∴S10＝＝210.5．设 Sn为等差数列{an}的前 n 项和，若 a4＝1，S5＝10，当 Sn取最大值时，n...