高中数学 第一章 坐标系 三 1 圆的极坐标方程教学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学教学案VIP专享

1．圆的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上 ，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫做曲线 C 的极坐标方程．(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：① 建立适当的极坐标系，设 P(ρ，θ)是曲线上任意一点．② 列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式．③ 将列出的关系式整理、化简．④ 证明所得方程就是曲线的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)圆心在 C(a,0)(a＞0)，半径为 a 的圆的极坐标方程为 ρ ＝ 2 a cos _θ.(2)圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ ＝ r .(3)圆心在点(a，)处且过极点的圆的方程为 ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)． 圆的极坐标方程[例 1] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程．[思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程．[解] 在圆周上任取一点 P(如图)设其极坐标为(ρ，θ)．由余弦定理知：CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，故其极坐标方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即 θ0＝0 时，方程为 r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有 ρ0＝r，则其方程为 ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ，若 ρ0＝r，θ0≠0，则方程为 ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．1．求圆心在 C，半径为 1 的圆的极坐标方程．解：设圆 C 上任意一点的极坐标为 M(ρ，θ)，如图，在△OCM 中，由余弦定理，得|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM＝|CM|2，即 ρ2－2ρcos＋1＝0.当 O，C，M 三点共线时，点 M 的极坐标也适合上式，所以圆的极坐标方程为ρ2－2ρcos＋1＝0.2．求圆心在 A 处并且过极点的圆的极坐标方程．解：设 M(ρ，θ)为圆上除 O、B 外的任意一点，连结 OM、MB，则有 OB＝4，OM＝ρ，∠MOB＝θ－π.∠BMO＝90°，从而△BOM 为直角三角形．∴有|OM|＝|OB|cos∠MOB即 ρ＝4cos＝－4sin θ.极坐标方程与直角坐标方程的互化[例 2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0；(3)ρ＝.[思路点拨] 将方程的互化转化为点的互化：[解] (1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简，得 ρsin2θ＝4cos θ.(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin ...