高中数学 第一章 数列 3 等比数列 第2课时 等比数列的性质学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高中必修5数学学案VIP专享

第 2 课时 等比数列的性质Q\s\up7(情景引入) 1915 年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，……我们知道这是一个等比数列，那么，等比数列中，有什么特殊的性质呢？X\s\up7(新知导学) 1．等比数列的性质：(1)通项公式的推广：an＝am· q n － m (m、n∈N＋)．(2)公比为 q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数 m，所得数列是 等比数列 ，公比为 q .(3)若{an}是等比数列，且 m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N＋，则 a m· a n＝ a p· a q .(4)若等比数列{an}的公比为 q，则{}是以 为公比的等比数列．(5)一组等比数列{an}中，下标成等差数列的项构成 等比数列 .(6)若{an}与{bn}均为等比数列，则{anbn}为 等比数列 .(7)公比为 q 的等比数列，按 m 项分组，每 m 项之和(和不为 0)组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为 q m .(8){an}是等差数列，c 是正数，则数列{can}是 等比 数列．(9){an}是等比数列，且 an>0，则{logaan}(a>0，a≠1)是 等差 数列．2．等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a ， aq ， aq 2 或 ， a ， aq .(2)若四个数成等比数列，可设 a ， aq ， aq 2 ， aq 3 ；若四个数均为正(负)数，可设 ， ， aq ， aq 3 .Y\s\up7(预习自测) 1．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3等于( A )A．4 B．C． D．3[解析] 解法一： a6＝a3·q3，∴a3·q3＝6.a9＝a6·q3，∴q3＝＝.1∴a3＝＝6×＝4.解法二：由等比数列的性质，得 a＝a3·a9，∴36＝9a3，∴a3＝4.2．在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则 a8＋a9等于( D )A．90B．30C．70 D．40[解析] q2＝＝2，∴a8＋a9＝(a6＋a7)q2＝20q2＝40.3．如果数列{an}是等比数列，那么( A )A．数列{a}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列[解析] 数列{a}是等比数列，公比为 q2，故选 A．4．等比数列{an}中，a1＝1，a9＝9，则 a5＝ 3 .[解析] 由 a＝a1·a9，∴a＝9，∴a5＝±3.而 a1、a9均为正值，故 a5也为正值，∴a5＝3.5．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则 a12＝ 567 .[解析] 解法一：可知 a4、a6、...