高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1.3 圆与四边形 1.3.1 圆内接四边形学案 北师大版选修4-1-北师大版高二选修4-1数学学案VIP专享

1.3．1 圆内接四边形课标解读1.了解圆内接四边形的概念．2．掌握并灵活运用圆内接四边形的性质定理与判定定理及其推论.图 1－3－11．圆内接四边形的性质定理及推论(1)圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角互补．如图 1－3－1，四边形 ABCD 内接于⊙O，则有：∠A＋∠ C ＝180°，∠B＋∠ D ＝180°.(2)推论图 1－3－2圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．如图 1－3－2，∠CBE 是圆内接四边形 ABCD 的一外角，则有：∠CBE＝∠ D .2．圆内接四边形的判定定理及推论(1)判定定理：如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆．1如图 1－3－3①，若∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°，则四边形 ABCD 内接于⊙O.(2)推论：如果四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．如图 1－3－3②，若∠CBE＝∠D，则四边形 ABCD 内接于⊙O.图 1－3－31．判定四点共圆的方法有哪些？【提示】 (1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆．(因为四个顶点与斜边中点距离相等)图 1－3－42．如图 1－3－4，在四边形 ABCD 中，若∠ADB＝∠ACB，那么 A，B，C，D 共圆吗？为什么？【提示】 A，B，C，D 共圆．假设 A，B，C，D 不共圆，其中 C 点在圆外 C1处．设 AC1交⊙O 于 E 点，连接 BE， A、B、E、D 四点共圆，∴∠ADB＝∠AEB.又知∠AEB 是△BEC 的一个外角，2∴∠AEB＞∠ACB，∴∠ADB＞∠ACB，这与∠ADB＝∠ACB 矛盾．∴假设不成立．同理若 C1(C)点在⊙O 内，则有：∠ACB＞∠ADB，与∠ADB＝∠ACB 矛盾．因此A、B、C、D共圆.圆内接四边形的性质图 1－3－5 如图 1－3－5，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，在 AB 上截取 PA＝AC，以PC 为直径的圆分别交 AB、BC、AC 于 D、E、F.求证：＝.【思路探究】 先利用 PC 是圆的直径，得到 PF∥BC，再利用圆内接四边形的性质，得到DF∥PC，最后利用平行线分线段成比例证明结论．【自主解答】 连接 DF、PF. PC 是直径，∴PF⊥AC. BC⊥AC，∴PF∥BC，∴＝. 四边形 PCFD 内接于⊙O，∴∠ADF＝∠ACP， AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP.∴∠ADF＝∠APC.∴DF∥PC，3∴＝，∴＝.1．在本题的证明过程中...