§3 圆与四边形[对应学生用书 P26]1．圆内接四边形的性质定理文字语言符号语言图形语言性质定理圆内接四边形的对角互补若四边形 ABCD 内接于圆O，则有∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°推论圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角.四边形 ABCD 内接于⊙O，E为 AB 延长线上一点，则有∠CBE＝∠ D 2．四点共圆的判定定理文字语言符号语言图形语言判定定理如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆在四边形 ABCD 中，∠B＋∠D＝180°或∠A＋∠C＝180°，那么四边形 ABCD 内接于圆推论如果四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆在四边形 ABCD 中，延长AB 到 E.若∠CBE＝∠ D ，则 A，B，C，D 共圆由圆内接四边形的性质定理知，圆的内接平行四边形、菱形、梯形分别是什么图形？提示：矩形、正方形、等腰梯形[对应学生用书 P27]证明四点共圆[例 1] 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，延长 CA 到 P，再延长 AB 到 Q，使得 AP＝BQ.求证：△ABC 的外心 O 与 A，P，Q 四点共圆．[思路点拨 ] 本题主要考查四点共圆的判断．解题时，先连接OA，OC，OP，OQ，PQ.要证 O，A，P，Q 四点共圆，只需证∠CAO＝∠OQP 即可，为此1只要证△CPO≌△AQO 即可．[精解详析] 如图，连接 OA，OC，OP，OQ，PQ.在△OCP 和△OAQ 中，OC＝OA，∴∠OCP＝∠OAC.由已知 CA＝AB，AP＝BQ，∴CP＝AQ.又 O 是等腰△ABC 的外心且 AB＝AC，∴∠OAC＝∠OAQ，∴∠OCP＝∠OAQ.∴△OCP≌△OAQ.∴∠APO＝∠AQO，OP＝OQ.∴∠OPQ＝∠OQP.∴∠CAO＝∠BAC＝(∠APQ＋∠PQA)＝(∠OPQ＋∠APO＋∠OQP－∠AQO)＝×2∠OQP＝∠OQP.∴O，A，P，Q 四点共圆．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆．(因为四个顶点与斜边中点距离相等)1．在锐角三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F 是垂足．求证：E，B，C，F 四点共圆．证明：如图，连接 EF. DE⊥AB，DF⊥AC，∴A，E，D，F 四点共圆．∴∠1＝∠2.∴∠1＋∠C＝∠2＋∠C＝90°.∴∠BEF＋∠C＝180°.∴B，E，F，C 四点共圆.证明线段相等或角相等[例 2] 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 BD，CA...
