高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法学案（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案

§1.3 反证法1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.2.理解反证法的概念及思考过程和特点.(难点)3.掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 反证法阅读教材 P13～P14“例 3”以上内容，完成下列问题.1.反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.2.反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若 p 则 q”的过程可以用以下框图表示：→→→判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法.( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理.( )(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.( )【解析】 (1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法.(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.(3)错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.【答案】 (1)√ (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 1[小组合作型]用反证法证明否定性命题 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项 an与前 n 项和 Sn；(2)设 bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【精彩点拨】 第(1)问应用 an＝a1＋(n－1)d 和 Sn＝na1＋n(n－1)d 两式求解.第(2)问先假设存在三项 bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明.【自主解答】 (1)设等差数列{an}的公差为 d，由已知得∴d＝2，故 an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋).(2)证明：由(1)得 bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项 bp，bq，br(p，q，r 互不相等)成等比数列，则 b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. p，q，r∈N＋，∴∴＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，这与 p≠r 矛盾.所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.1.当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法.例如证明异面直线...