高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法学案（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案

§1.4 数学归纳法1.了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤.(重点)2.体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 数学归纳法阅读教材 P16～P18，完成下列问题.1.数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数 n 有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：当 n 取第一个值 n 0(如 n0＝1 或 2 等)时，命题成立；(2)在假设当 n ＝ k ( n ∈ N ＋， k ≥ n 0)时命题成立的前提下，推出当 n ＝ k ＋ 1 时，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从 n0 开始的正整数 n 都成立.2.应用数学归纳法注意的问题(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数 n 有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤(2)的证明必须以“假设当 n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立”为条件.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )(2)数学归纳法的第一步 n0的初始值一定为 1.( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )【答案】 (1)× (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： [小组合作型]1用数学归纳法证明等式 (1)用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N＋)时，第一步验证 n＝1 时，左边应取的项是( )A.1B.1＋2C.1＋2＋3D.1＋2＋3＋4(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从 k 到 k＋1”左端增乘的代数式为__________. 【自主解答】 (1)当 n＝1 时，左边应为 1＋2＋3＋4，故选 D.(2)令 f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则 f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1).【答案】 (1)D (2)2(2k＋1)数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是 1.2.递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.3.利用假设是核心在第二步证明 n＝k＋1 成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k 时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书...