§4 数学归纳法在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题 1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题 2：这种现象对你有何启发？提示：这种现象使我们想到一些与正整数 n 有关的数学问题．数学归纳法及其基本步骤：数学归纳法是用来证明某些与正整数 n 有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证：n ＝ 1 时，命题成立；(2)在假设当 n ＝ k ( k ≥1) 时命题成立的前提下，推出当 n ＝ k ＋ 1 时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数 n 都成立．1．数学归纳法仅适用于与正整数 n 有关的数学命题的证明．2．应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；(2)在证明 n＝k＋1 命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．用数学归纳法证明等式[例 1] 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．[思路点拨] 运用数学归纳法由 n＝k 到 n＝k＋1，等式左边增加了两项．结合等式右边的结构特点，进一步确定所需要的项及多余项，最后凑成所需要的结构形式即可．[精解详析] (1)当 n＝1 时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边，等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥1)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当 n＝k＋1 时，＋＝＋＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋.即当 n＝k＋1 时，等式也成立．综合(1)和(2)可知，对一切正整数 n 等式都成立．[一点通] 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 n＝k到 n＝k＋1 时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项．1．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中 n∈N＋)．证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当 n＝k(k∈N＋)时等式成立，即 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当 n＝k＋1 时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当 n＝k＋1 时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何 ...
