高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.6 三个正数的算术—几何平均不等式（2）课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

1.1.6 三个正数的算术—几何平均不等式（2）课堂导学三点剖析一、在求最值时,要注意“一正”“二定”“三相等”【例 1】 一段长为 l m 的篱笆围成一个一边靠墙的菜园,问这个矩形长和宽各为多少时,菜园的面积最大,最大值是多少?错解：设矩形的宽为 x m,长为(l-2x) m,则S=x(l-2x)≤2)2(22xlx,当且仅当 x=l-2x 时等号成立,所以令 x=l-2x,解之,得 x=3l .∴S=9299222lll.此时,l-2x=3l ,∴当长和宽都为3l m 时矩形的面积最大,最大面积是92l m2.正解一：设矩形的宽为 x m,长为(l-2x) m,则 S=x(l-2x)=［)2(xlx)］2=［2)2(2xlx］2≤8421)222(21222llxlx,当且仅当 2x=l-2x,即 x=4l 时“=”成立,∴当宽为 4l m,长为 2l m 时面积最大,最大面积为 8l l2 m2.正解二：(设法同解法一)S=x(l-2x)= 21 ·2x(l-2x), 2x+l-2x=l,∴S= 21 ·2x·(l-2x)≤ 21 · 41 l2= 81 l2,当且仅当 2x=l-2x 时等号成立,此时x=41 l.∴当宽为4l ,长为2l 时面积最大,最大面积为82l m2.类题演练 1(1)求函数 y=cosx-2cos)2(cos322xx的最值;1(2)求函数 f(x)=2x(x-1)(8-3x)的最大值,其中 x∈(1, 38 ).(1)错解:设 cosx-2 =t,则 y=t+323 t.∴ymin=32.正确解法:设 cosx-2 =t,显然 t<0,则 y=-(-t+t3 )≤32,∴ymax=32.(2)错解: x∈(1, 38 ),则 2x>0,x-1>0,8-3x>0.从而 f(x)=［ 3)38)(1(2xxx］3≤［3)38()1(2xxx］3= 27343 ,∴f(x)max= 27343 .正确解法:f(x)=8［ 3)234)(1(2xxx)］3≤8［3)234()1(2xxx］3=8,∴当 x=2 时,f(x)max=8.变式提升 1求 y=(sin2x+x2sin1)+(cos2x+x2cos1)的最小值.错解: sin2x>0,且有 sin2x+x2sin1≥2,同理可得 cos2x+x2cos1≥2.∴y=(sin2x+x2sin1)+(cos2x+x2cos1)≥4.∴ymin=4.正确解法:y=(sin2x+x2sin1)+(cos2x+x2cos1)=1+x2sin42,∴当 x=42 k(k∈Z)时有 ymin=5.二、利用均值不等式求最值的典型技巧和方法【例 2】 设 a、b、x、y∈R+,a、b 为常数,且ybxa =1,求 x+y 的最小值.错解： x+y=(x+y)xyybxa2)(·abxyab42,∴(x+y)min=ab4.错因分析:x+y≥xy2中等号成立的条件是 x=y,ybxa ≥xyab2中等号成立的条件是ybxa ,而ybxa =1,∴x=2a,y=2b.此时 a 不一定等于 b,故上述解法有误.2正解一:(消元法) ybxa =1,∴y=axbx且 x>a.∴x+y=x+axbx=x+axaaxb)(=x+b+axab=x-a+ax...