1.1 不等式 2预习导航1．了解两个正数的几何平均与算术平均．2．会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用问题． 1．定理 1如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．2．定理 2(基本不等式)(1)定理 2：如果 a ， b ＞ 0 ，那么≥，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．(2)称为 a，b 的算术平均，称为 a，b 的几何平均．(3)基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．(4)基本不等式的几何意义．直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高．名师点拔 基本不等式成立的条件：“一正、二定、三相等”．【做一做 1－1】logab＋logba≥2 成立的必要条件是( )A．a＞1，b＞1 B．a＞0,0＜b＜1C．(a－1)(b－1)＞0 D．以上都不正确解析：因为 logab 与 logba 互为倒数，符合基本不等式的结构．但两个数应是正数，所以a，b 同时大于 1 或 a，b 都属于区间(0,1)．答案：C【做一做 1－2】下列各式中，最小值等于 2 的是( )A．＋ B．C．tan θ＋ D．2x＋2－x解析：∵2x＞0,2－x＞0，∴2x＋2－x≥2＝2，当且仅当 2x＝2－x，即 x＝0 时，等号成立．答案：D3．重要的不等式链设 0＜a≤b，则 a≤≤≤≤≤b.【做一做 2】下列结论中不正确的是( )A．a＞0 时，a＋≥2 B．＋≥2C．a2＋b2≥2ab D．a2＋b2≥解析：选项 A、C 显然正确；选项 D 中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab≥0，∴a2＋b2≥成立；而选项 B 中，＋≥2 不成立，因为若 ab＜0，则不满足基本不等式成立的条件．答案：B4．应用基本不等式求函数最值已知 x，y 都为正数，则(1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当且仅当 x ＝ y 时，积 xy 取得最大值；(2)若 xy＝p(积为定值)，则当且仅当 x ＝ y 时，和 x＋y 取得最小值 2.归纳总结 基本不等式应用中有“积定和最小，和定积最大”的规律．【做一做 3－1】设 x＞0，则函数 y＝3－3x－的最大值是________．解析：y＝3－≤3－2，当且仅当 3x＝，即 x＝时，等号成立．∴ymax＝3－2.答案：3－2【做一做 3－2】已知 lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为________．1解析：∵lg x＋lg y＝2，∴lg(xy)＝2.∴xy＝102.∴＋＝≥＝＝，当且仅当 x＝y＝10 时，等号成立．答案：2
