高中数学 第七章 三角函数 7.2 任意角的三角函数 7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案（含解析）新人教B版必修第三册-新人教B版高一必修第三册数学学案

7．2.3 同角三角函数的基本关系式[课程目标] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.2．会运用以上两个基本关系式进行化简、求值和证明．3．通过学习同角三角函数的基本关系式，认识事物之间的普遍联系规律，培养辩证唯物主义观．[填一填]1．同角三角函数的基本关系式2.同角三角函数基本关系式的常见变形同角三角函数基本关系式的变形有： sin2α＝1 － cos 2 α ，cos2α＝1 － sin 2 α ，sinα＝cos α tan α ，cosα＝(tanα≠0)，(sinα±cosα)2＝1±2sin α cos α ，＝1 等．在三角函数的求值、化简和证明中经常用到同角三角函数的基本关系式及其变形公式 ，要注意灵活运用，掌握一些转化技巧，如“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)，化切为弦，化弦为切等．[答一答]证明三角恒等式有哪些常用方法？提示：证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常用如下几种：(1)从不等式的一边证得它的另一边，一般从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是等式的传递性；(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想；(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性；(4)差比法：证明“左边－右边＝0”．类型一 利用同角三角函数的关系式求值[例 1] 已知 tanα＝－2，求 sinα，cosα 的值．[分析] 由 tanα 得出 sinα 与 cosα 的关系，结合 sin2α＋cos2α＝1，即可得出答案．[解] tanα＝－2，∴α 是第二、四象限角，又由 tanα＝－2 得 sinα＝－2cosα.(1)当 α 为第二象限角时，⇒5cos2α＝1， cosα<0，∴cosα＝－，sinα＝－2×＝.(2)当 α 为第四象限角时，⇒5cos2α＝1， cosα>0，∴cosα＝，sinα＝－2×＝－.综合(1)(2)知：当 α 为第二象限角时，cosα＝－，sinα＝，当 α 为第四象限角时，cosα＝，sinα＝－.同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是 “知一求二”，要注意角所在象限，必要时必须进行讨论，另外在本例中要注意体会方程思想的应用.[变式训练 1] 已知 cosα＝－，求 sinα，tanα 的值．解： cosα＝－<0，∴α 是第二或第三象限的角．如果 α 是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝＝－.如果 α 是第三象限角，同理可得sinα＝－＝－，tanα＝.类型二 条件求值命题视角 1：化简代入求值...