高中数学 第三单元 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性教学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学教学案

3．3.1 利用导数判断函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间． 知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系思考 1 观察下列各图，完成表格内容．函数及其图象切线斜率k 正负导数正负单调性正[1，＋∞)上单调______R 上单调________负(0，＋∞)上单调______(0，＋∞)上单调______(－∞，0)上单调______思考 2 依据上述分析，可得出什么结论？ 梳理 导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0________0______角单调______<0________0______角单调______知识点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数 y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数 y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？ 梳理 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”． 类型一 利用导数判断函数的单调性例 1 证明：函数 f(x)＝在区间上单调递减． 反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则 f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则 f′(x)≥(或≤)0.跟踪训练 1 证明：函数 f(x)＝在区间(0，e)上是增函数． 类型二 利用导数求函数的单调区间命题角度 1 不含参数的函数求单调区间例 2 求 f(x)＝3x2－2ln x 的单调区间． 反思与感悟 求函数 y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数 y＝f(x)的定义域．(2)求导数 y′＝f′(x)．(3)解不等式 f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数．(4)解不等式 f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．跟踪训练 2 求函数 f(x)＝的单调区间． 命题角度 2 含参数的函数求单调区间例 3 讨论函数 f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性． 反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定 f′(x)的符号，否则会产生错误．(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．跟踪训练 3 已知函数 f(x)＝x2－(a＋m)x＋aln x，且 f′(1)...