第三单元 导数及其应用1 巧用法则求导数导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用．那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明．1．函数和(或差)的求导法则(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)例 1 求下列函数的导数：(1)f(x)＝＋ln x；(2)f(x)＝cos x－－1.解 (1)f′(x)＝－＋.(2)f′(x)＝－sin x－ .点评 记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导．2．函数积的求导法则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)例 2 求下列函数的导数：(1)f(x)＝x2ex；(2)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．解 (1)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex.(2)f′(x)＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.点评 特别要注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)．同时要记住结论：若 C 为常数，则[Cf(x)]′＝Cf′(x)，由此进一步可以得到[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．3．函数商的求导法则′＝(g(x)≠0)例 3 求下列函数的导数：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝tan x；(3)f(x)＝＋ .解 (1)f′(x)＝()′＝＝.(2)f′(x)＝(tan x)′＝()′＝＝.(3)因为 f(x)＝＋＝＝，所以 f′(x)＝()′＝＝.点评 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率．4．分式求导对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决．例 4 求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝.分析 直接求导，或比较烦杂，或无从下手，这时，我们不妨利用数学运算法则将其分解，那么“曙光就在前头”．解 (1)因为 y＝＝x－1＋，所以 y′＝1＋＝1－.(2)因为 y＝＝x2＋x3＋x4，所以 y′＝2x＋3x2＋4x3.点评 本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”．2 利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数 f′(x0)的几何意义为曲线 y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线...
