高中数学 第三章 不等式 3 基本不等式 第1课时 基本不等式学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高中必修5数学学案

第 1 课时 基本不等式Q\s\up7(情景引入) 某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量 a 和 b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？你能用学过的知识帮助他解决这个问题吗？X\s\up7(新知导学) 基本不等式如果 a，b 都是非负数，那么≥，当且仅当 a ＝ b 时等号成立．我们称上述不等式为基本不等式，其中称为 a，b 的算术平均数，称为 a，b 的几何平均数.因此基本不等式又被称为均值不等式.对于基本不等式，用文字语言可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.但从数列的角度看，可把看作是正数 a，b 的等差中项，看作是正数 a，b 的正的等比中项，基本不等式又可叙述为：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项.Y\s\up7(预习自测) 1．若 x2＋y2＝4，则 xy 的最大值是( C )A． B．1C．2 D．4[解析] xy≤＝2，当且仅当 x＝y 时取“＝”．2．若 a、b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( D )A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C．＋> D．＋≥2[解析] 本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断．用排除法：A：a＝b 时不满足；B：a<0，b<0 时不满足；C：a<0，b<0 时不满足；D：>0，>0，＋≥2＝2.3．(2019·浙江卷，5)若 a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( A )A．充分不必要条件1B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析] a>0，b>0，若 a＋b≤4，∴2≤ a＋b≤4.∴ab≤4，此时充分性成立．当 a>0，b>0，ab≤4 时，令 a＝4，b＝1，则 a＋b＝5>4，这与 a＋b≤4 矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当 a>0，b>0 时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选 A．4．已知 x>0，函数 y＝＋x 的最小值为 4.[解析] x>0，∴>0，∴y＝x＋≥2＝4.5．x，y∈R，x＋y＝5，则 3x＋3y的最小值是 18.[解析] 3 x>0,3y>0.∴3x＋3y≥2＝2＝2·()5＝18，当且仅当 x＝y＝时等号成立．H\s\up7(互动探究解疑 ) 命题方向 1 ⇨利用基本不等式比较代数式的大小 例题 1 已知 0＜a＜1,0