第 2 课时 基本不等式与最大(小)值Q\s\up7(情景引入) 下图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你能用这个图来解释一下基本不等式≥吗？X\s\up7(新知导学) 1．两个常用命题x、y 都为正数时，下面的命题成立．(1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值；(2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2.2．基本不等式的变形公式(1)ab≤；(2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；(3)()2≥－1(b≠0)；(4)ab≤()2；(5)a＋≥2(a∈R＋)．3．不等式≥ab 和≥的区别与联系(1)≥ab 与≥成立的条件不同．前者中的 a、b 为任意实数，后者中的 a、b 只能取非负实数.(2)两个不等式都是当且仅当 a ＝ b 时取到等号，这一点在求最值时经常用到．Y\s\up7(预习自测) 1．在下列函数中，当 x 取正数时，最小值为 2 的是( D )A．y＝x＋B．y＝lgx＋C．y＝＋D．y＝x2－2x＋3[解析] x 取正数时，A 选项中 y≥4，B 选项中 y 可为负值，C 选项中>1，则 y>2，只有 D 选项通过配方易得 y≥2.2．若函数 f(x)＝x＋(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝( C )A．1＋ B．1＋C．3 D．4[解析] 该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题．f(x)＝x＋(x>2)＝x－2＋＋21≥2＋2＝4.当且仅当 x－2＝即(x－2)2＝1， x>2，∴x－2>0，∴x－2＝1，即 a＝3.3．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比 q≠1，设 P＝(log0.5a5＋log0.5a7)，Q＝log0.5，则P 与 Q 的大小关系是( D )A．P≥Q B．PQ[解析] P＝(log0.5a5＋log0.5a7)＝log0.5(a5a7)＝log0.5a6，Q＝log0.5Q.4．若 x>0，则 3＋3x＋的最小值为 9.[解析] x>0，∴3＋3x＋≥3＋2＝3＋2×3＝9.当且仅当 x＝1 时，取等号．5．设 x，y∈R，且 x＋y＝3，则 2x＋2y的最小值为 4.[解析] x＋y＝3，∴y＝3－x，∴2x＋2y＝2x＋23－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当 2x＝，即 2x＝2，∴x＝，y＝时，等号成立．别解：2x＋2y≥2＝2＝2＝4(当且仅当 x＝y＝时取等号)H\s\up7(互动探究解疑 ) 命题方向 1 ⇨利用基本不等式求最值 例题 1 求函数 y＝的最小值．[分析] 若把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可构造成能利用基本不等式的形式．[解析] 令 t＝x...
